[IOI2005] mea 解题记录

[IOI2005] mea 解题记录

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题意简述

考虑一个非递减的整数序列 $S_1,\cdots ,S_{n+1}$ ($S_i\le Si+1$，$1\le i\le n$)。 序列 $M_1\cdots M_n$ 是定义在序列 $S$ 的基础上，关系式为 $M_i=\frac{S_i+S_{i+1}}{2}$（$1\le i<n$）, 序列 $M$ 叫做序列 $S$ 的平均数序列。
现给出序列 $M$，求出有多少个满足条件的序列 $S$。

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题目分析

容易发现一个结论：对于序列 $S$，只要确定了 $S_1$，就确定了一个序列。这个问题就转换为求 $S_1$有多少种取值。
不妨设 $S_i\in [l,r]$。
$\because l\le S_i\le r$ 且 $S_i+S_{i+1}=2M_i$
$\therefore l\le 2M_i-S_{i+1}\le r$
$\therefore l-2M_i\le -S_{i+1}\le r-2M_i$
即 $2M_i-r\le S_{i+1}\le 2M_i-l$
$\therefore S_{i+1}\in [2M_i-r,2M_i-l]$
$\because S_i+S_{i+1}=2M_i$ 且 $S_i\le S_{i+1}$
$\therefore S_{i+1}\ge M_i$
$\therefore S_{i+1}\in [\max (M_i,2M_i-r),2M_i-l]$

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AC Code

#include<bits/stdc++.h>
#define arrout(a,n) rep(i,1,n)std::cout<<a[i]<<" "
#define arrin(a,n) rep(i,1,n)std::cin>>a[i]
#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)
#define dep(i,x,n) for(int i=x;i>=n;i--)
#define erg(i,x) for(int i=head[x];i;i=e[i].nex)
#define dbg(x) std::cout<<#x<<":"<<x<<" "
#define mem(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define arrall(a,n) a+1,a+1+n
#define PII std::pair<int,int>
#define m_p std::make_pair
#define u_b upper_bound
#define l_b lower_bound
#define p_b push_back
#define CD const double
#define CI const int
#define int long long
#define il inline
#define ss second
#define ff first
#define itn int
CI N=1e5+5;
int n;
signed main() {
    std::cin>>n;
    int l=LLONG_MIN,r=LLONG_MAX;
    rep(i,1,n) {
        int m;
        std::cin>>m;
        std::swap(l,r);
        l=std::max(m,2*m-l),r=2*m-r;
    }
    std::cout<<std::max((r-l+1),0ll);
    return 0;
}