codeforces914C Travelling Salesman and Special Numbers 二进制特性+组合数学+递推_travelling salesman and special numbers 914c-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/LiRewriter/article/details/79212102

本文介绍了一种使用数位动态规划（数位DP）解决特定类型数学问题的方法。问题要求计算在限定次数内通过特定操作使数值变为1的所有可能数值的数量。文章详细解释了如何预处理数据、应用组合数原理并提供了完整的代码实现。

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比较骚的一道题。。
题意大概是，我们定义一次操作 $\alpha$ ：将一个数 $i$ 二进制是1的位数取出来。
比如说， $10_{10} = 1010_{2}$ ，所以 $\alpha(10) = 2$ 。
显然，任何数数在经过多次 $\alpha$ 操作之后，一定能够成为1。现在有一个数 $i(i \leq 2^{1000})$ ，求一共有多少数 $m$ 在 $k$ 次变化之后可以变成1，并且 $m \leq i$ 。
答案对 $10^9+7$ 取模。

首先，我们发现一个性质：由于这个数是小于 $2^{1000}$ 的，所以在第一次的变化之后结果一定是小于1000的。
因此，我们可以想到预处理出来1000以内的数需要多少次变化，而这一过程可以递推求解： $f[i] = f[getbit(i)] +1$ ，其中getbit()是用来求出一个数二进制下有多少位是1的：

inline int getbit(int x) {
    int ans = 0;
    while(x) {
        if(x & 1) ++ans;
        x >>= 1;
    }
    return ans;
}

然后呢？现在的问题集中在，如果给定 $i$ ，如何求出比 $i$ 小并且位数的dp值是 $k - 1$ 的，也就是变化之后只需要 $k - 1$ 次。
不妨讨论一下如果某个位是0，那么我们就可以忽略它，而如果某个位是1，那么它之后的每个值全部可以变，前提是只需要它变成0。
所以，我们发现，对于第pos位来说，假如前面有 $m$ 个位是1：

a n s + = \sum_{n}^{i = m} C_{n - p o s}^{i - m} \cdot [d p [i] == k - 1]

$ans += \sum ^{i = m} _ n C_{n - pos}^{i - m} \cdot [dp[i] == k-1]$
这是因为，对于某个确定的位置，如果前面的部分已经全部确定，那么后面的部分就可以自由选择了。所以，后面的就可以用组合数去求！
还有一个问题，就是为什么我们只考虑某一位变成0后面的随意改变的情况。这是因为，这一位是1的情况我们在对这位之前的东西进行求解的时候已经处理过了。
而组合数怎么求？用递推法预处理：

Cnm=Cn−1m−1+Cn−1mCmn=Cm−1n−1+Cmn−1 $C_m^n = C_{m - 1}^{n - 1} + C_{m} ^{n - 1}$ 。
还有三个特例需要注意：
如果1的位数的dp值恰是

k−1k−1 $k - 1$ ，那么结果还要加1。这是因为我们在枚举的时候已经忽略的第一位的情况，所以现在要再考虑进来。
如果

k=0k=0 $k = 0$ ，那么结果是0，因为1不在答案里。
如果

k=1k=1 $k = 1$ ，那么结果要-1，也是因为1不在答案里。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const LL MOD = (LL)1e9+7;
LL k, C[1003][1003], dp[1003], cnt, num;
string str;
inline int getbit(int x) {
    int ans = 0;
    while(x) {
        if(x & 1) ++ans;
        x >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main() {
    cin>>str>>k;
    if(!k) return puts("1"), 0;
    for(int i = 0; i <= 1000; ++i)
        C[i][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 1000; ++i) {
        for(int j = 1; j <= 1000; ++j)
            C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % MOD;
    }
    dp[1] = 0;
    for(int i = 2; i <= 1000; ++i)
        dp[i] = dp[getbit(i)] + 1;
    int N = str.size();
    for(int i = 0; i < N; ++i) {
        if(str[i] == '0') continue;
        for(int j = max(1LL, cnt); j < N; ++j) {
            if(dp[j] == k - 1) {
                num = (num + C[N - 1 - i][j - cnt]) % MOD;
            }
        }
        ++cnt;
    }
    if(k == 1) --num;
    if(dp[cnt] == k - 1) num = (num + 1) % MOD;
    cout<<num<<endl;
    return 0;
}