lyd读书笔记 0x01位运算

回来了一本算法竞赛进阶指南。可喜可贺，可喜可贺。
于是怀揣着期末考试GG的决心，我….开刷了（x）
顺便一提。。打*的题太丧病了所以就不做了。。

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基本概念

bit是度量信息的基本单位。
0x表示16进制，0xff代表-1，0x7f代表128。
在m位二进制中，从右到左最低位为第0位，最高位为第m-1位。
我们常用0x3f3f3f3f表示最大值，因为二倍是int最大整数，每8位相同。
memset语句只能赋值出每8位相同的int，memset(a, 0x3f, sizeof a)可以用来初始化成最大值。
补码能比反码多表示一个数，减少了特殊判断，在电路设计中很简洁。
$1 << n$表示$2^n$，$n << 1$表示$n \times 2$，$n >> 1$表示$\lfloor \dfrac{n}{2.0} \rfloor$
所以我学了啥

位运算优先级：
+ - $>$ << >> $>$ > < == != $>$ & $>$ ^ $>$ |

快速幂与慢速乘

快速幂模板题 POJ1995

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL T, n, m, qwq, tmpa, tmpk, ans;
inline LL ksmqm(LL a, LL k, LL mod) {
    LL ans = 1;
    for(; k; k >>= 1) {
        if(k & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
    }
    return ans;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    cin>>T;
    while(T--) {
        ans = 0;
        cin>>m;
        cin>>n;
        while(n--) {
            cin>>tmpa>>tmpk;
            ans = (ans + ksmqm(tmpa, tmpk, m)) % m;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

慢速乘法
法一：对b二进制拆分然后跑一遍快速幂，$O(logb)$
法二：玄学的过程？

LL mul(LL a, LL b, LL p){
    a %= p, b %= p;
    LL c = (long double) a * b - c * p;
    LL ans = a * b - c * p;
    if(ans < 0) ans += p;
    else if(ans >= p) ans -= p;
}

二进制状态压缩

取出第k位 (n >> k) & 1
取出后k位 n & ((1 << k) - 1)
取反第k为 n ^ (1 << k)
第k位赋值1 n | (1 << k)
第k位赋值0 n & (~(1 << k))

例题
例二状压DP。。。
POJ2288打了*先不讨论

Hamilton路径
求从节点0到节点n - 1的最短Hamilton路径。其中Hamilton路径指从1~n恰好不重不漏的经过每个节点一次。$n \leq 20$

状态设计：用dp[s][i]表示在节点i处状态为s，s的每一位分别指代某个节点是否访问过。
初始化：dp[s][i] = INF, dp[1][0] = 0表示从起点出发的路一开始长度是0。
转移：dp[s][i] = min{dp[s ^ (1 << j)][k] + w[k][j]}，其中k、j已访问过（用i >> j & 1即可判断），表示从j节点没有被访问过的情况转移到这里。
结果：dp[(1 << n ) - 1][n - 1]，表示终点处且每个点都访问过的情况。
复杂度$O(n^2 \cdot 2^n)$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3fffff
int w[26][26];
int dp[1 << 20][20];
int n, m, f, t, va;
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(w, 0x3f, sizeof w);
    for(int i = 1; i <= m; ++i) {
        scanf("%d%d%d", &f, &t, &va);
        --f; --t;
        w[f][t] = va;
        w[t][f] = va;
    }
    memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
    dp[1][0] = 0;
    int M = 1 << n;
    for(int i = 1; i < M; ++i) {
        for(int j = 0; j < n; ++j)
        if(i >> j & 1)
            for(int k = 0; k < n; ++k)
            if(i >> k & 1)
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i ^ 1 << j][k] + w[k][j]);
    }
    cout<<dp[M - 1][n - 1];
    return 0;
} 
/*
4 5
1 2 6
2 3 7
0 3 5
1 3 1
2 0 2
*/

其它运算

成对变换：
n为偶数，n ^ 1为n + 1
n位奇数，n ^ 1为n - 1

lowbit：

inline int lowbit(int x) {return x & -x;}

用来取出最低位的1及其后面的0构成的数值。
原理好麻烦的样子（x