差分约束

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差分约束

差分约束是关于求解一组特殊不等式的方法，如果一个不等式组由n个变量和m个约束条件组成，且每个约束条件形如x_j-x_i<=b_k(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则称其为差分约束系统。我们的目标是通过给定的约束不等式组求出最大值或者最小值或者差分约束系统是否有解。
差分约束系统可以转化为图论来解决，对于一个不等式组x_j-x_i<=b_k，我们可以在i点与j点之间构建一条权值为b_k的边，求解该图中的i点到j点的最短路，发现也是b_k，这不是巧合，其实是用到了三角形不等式。之所以差分约束系统可以通过图论的最短路来解，是因为xj-xi<=bk，会发现它类似最短路中的三角不等式d[v] <=d[u]+w[u,v]，即d[v]-d[u]<=w[u,v]。而求取最大值的过程类似于最短路算法中的松弛过程。
差分约束求解问题主要分为三种
1、求建图后的最短路。
2、求建图后的最长路。
3、求该差分约束系统是否合理（有解）
前两个都取决于题意和不等式的不等号方向，第三个用一个spfa判一下整个建起来的图存不存在环即可。
对于不同不等号的不等式的变换
形如x_j-x_i<b_k，但是我们要建图的话一定得是带等号的，因为一般我们的题目都是整数域的，所以可以调整为x_j-x_i<=b_k+1。第二种就是形如x_j-x_i=b_k，可以化为x_j-x_i<=b_k和x_j-x_i>=b_k，后面这个再进一步化为x_j-x_i<=-b_k，就可以用这两个式子代替了。
例题

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define endl '\n'
using namespace std;
const int maxn = 1e6+10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
template<class T>
inline void read(T &res) {
    char c; res = 0;
    while (!(isdigit(c = getchar())));
    while (isdigit(c)) res = res * 10 + c - '0', c = getchar();
}
int ver[maxn],edge[maxn],nxt[maxn],head[maxn],dis[maxn],vis[maxn];
int cnt,minn = INF,maxx = 0;
void add(int x,int y,int z) {
	ver[++cnt] = y,edge[cnt] = z,nxt[cnt] = head[x],head[x] = cnt;
}
void SPFA(int s) {
	fill(dis+minn+1,dis+maxx+1,-INF);
	queue<int>q;
	q.push(s);
	vis[s] = 1;
	while(q.size()) {
		int x = q.front();
		q.pop();
		vis[x] = 0;
		for(int i=head[x];i;i = nxt[i]) {
			int y = ver[i],z = edge[i];
			if(dis[y]<dis[x]+z) {
				dis[y] = dis[x]+z;
				if(!vis[y]) q.push(y),vis[y] = 1;
			}
		}
	}
}
int main()
{
	int n;
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int a,b,c;
		read(a),read(b),read(c);
		add(a,b+1,c);
		minn = min(minn,a);
		maxx = max(maxx,b);
	}
	maxx++;
	for(int i=minn;i<maxx;i++) {
		add(i,i+1,0);
		add(i+1,i,-1);
	}
	SPFA(minn);
	printf("%d\n",dis[maxx]);
}