07-图6 旅游规划(浙大数据结构PTA习题)

问题:

有了一张自驾旅游路线图,你会知道城市间的高速公路长度、以及该公路要收取的过路费。现在需要你写一个程序,帮助前来咨询的游客找一条出发地和目的地之间的最短路径。如果有若干条路径都是最短的,那么需要输出最便宜的一条路径。

输入格式:

输入说明:输入数据的第1行给出4个正整数N、M、S、D,其中N(2≤N≤500)是城市的个数,顺便假设城市的编号为0~(N−1);M是高速公路的条数;S是出发地的城市编号;D是目的地的城市编号。随后的M行中,每行给出一条高速公路的信息,分别是:城市1、城市2、高速公路长度、收费额,中间用空格分开,数字均为整数且不超过500。输入保证解的存在。

输出格式:

在一行里输出路径的长度和收费总额,数字间以空格分隔,输出结尾不能有多余空格。

输入样例:

4 5 0 3
0 1 1 20
1 3 2 30
0 3 4 10
0 2 2 20
2 3 1 20

输出样例:

3 40

代码长度限制: 16 KB        内存限制:64 MB

Java (javac) 时间限制:800 ms        其它编译器时间限制:400 ms

答案:

本题主要考察有权图的单源最短路径算法。由于该题中图含有两个权重类型,并且对时间的限制比较严格,因此这里采用Dijkstra算法进行实现。

示例推演:

dist数组最终反映的是:起点到达各个点最短路径长度;

price数组最终反映的是:在最短路径长度的前提下,起点到达各个点的最少费用总额;

collect数组最终反映的是:各个顶点被收录的情况,未被收录的点即是起点无法到达的点;

 

 

代码展示: 

# include<stdio.h>
# include<stdlib.h>
# define MAXVERTEMNUM 501
# define ERROR -1

// 边结构 
struct ElementType{
    int Weight;    // 长度
    int Price;     // 价格
};

// 图结构(采用邻接矩阵存储边信息) 
typedef struct MGraphNode* MGraph;
struct MGraphNode{
    struct ElementType Martrix[MAXVERTEMNUM][MAXVERTEMNUM];
    int Nv;    // 顶点数 
    int Ne;    // 边数 
};

MGraph CreateMGraph();
void InsertMGraph(MGraph Graph);
int FindMinDist(MGraph Graph, int dist[], int collected[]);
void Dijkstra(MGraph Graph, int dist[],int price[],int Start);

int main(){
    // 创建一个空图
    MGraph Graph = CreateMGraph();
    // 接受起点和终点
    int Start, End;
    scanf("%d %d",&Start,&End);
    // 向图中插入边
    InsertMGraph(Graph);
    // 执行Dijkstra算法;dist存储路径总长度,price存储收费总额 
    int dist[MAXVERTEMNUM], price[MAXVERTEMNUM];
    Dijkstra(Graph,dist,price,Start);
    // 输出结果
    printf("%d %d",dist[End],price[End]);
    // 释放图
    free(Graph); 
    return 0;
}

// 返回一个空图
MGraph CreateMGraph(){
    // 接收顶点和边信息 
    int Nv,Ne;
    scanf("%d %d",&Nv,&Ne);
    MGraph Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct MGraphNode));
    Graph->Nv = Nv;
    Graph->Ne = Ne;
    // 元素结构中的长度和路径初始化为"正无穷"
    int i,j;
    for(i=0;i<Graph->Nv;i++){
        for(j=0;j<Graph->Nv;j++){
            struct ElementType Element = {MAXVERTEMNUM, MAXVERTEMNUM};
            Graph->Martrix[i][j] = Element;
        }
    }
    return Graph;
}

// 向图中插入边
void InsertMGraph(MGraph Graph){
    int V1,V2,Weight,Price;
    int i;
    for(i=0;i<Graph->Ne;i++){
        scanf("%d %d %d %d",&V1,&V2,&Weight,&Price);
        struct ElementType Element = {Weight,Price};
        // 无向图插入两次 
        Graph->Martrix[V1][V2] = Element;
        Graph->Martrix[V2][V1] = Element;
    }
    return; 
}

// Dijkstra算法:实时更新收录一个结点对其(未被收录的)邻接点造成的影响 
void Dijkstra(MGraph Graph, int dist[],int price[],int Start){
	// 记录收录情况的数组 
    int collected[MAXVERTEMNUM];
    // 初始化路径总长度,收费总额,收录数组 
    int V,W; 
    for(V=0;V<Graph->Nv;V++){
        dist[V] = Graph->Martrix[Start][V].Weight;
        price[V] = Graph->Martrix[Start][V].Price;
        collected[V] = 0;
    }
    // 收录起点
    dist[Start] = 0;
    price[Start] = 0;
    collected[Start] = 1;
    // 开始计算起点到达各个顶点的最短路径 
    while(1){
        // V为未被录用顶点中长度权重最小者 
        V = FindMinDist(Graph,dist,collected);
        if(V==ERROR)break;
        // 收录V 
        collected[V] = 1;
        for(W=0;W<Graph->Nv;W++){
        	// V的收录可能会对其未被收录的邻接结点W的权重造成影响 
            if(collected[W]==0 && Graph->Martrix[V][W].Weight<MAXVERTEMNUM){
                // 同理:收录W的其它邻接结点也可能会对W的权重造成影响,因此要进行实时判断更新 
                if(dist[V]+Graph->Martrix[V][W].Weight < dist[W]){
                	// 选择路径最短是首要 
                    dist[W] = dist[V] + Graph->Martrix[V][W].Weight;
                    price[W] = price[V] + Graph->Martrix[V][W].Price;
                }else if(dist[V]+Graph->Martrix[V][W].Weight == dist[W]){
                    // 路径长度相同的情况下,选择费用更少的 
                    if(price[V]+Graph->Martrix[V][W].Price < price[W]){
                        price[W] = price[V]+Graph->Martrix[V][W].Price;
                    }
                }
            }
        }
    }
    // 题目保证了有解的存在,因此不需要判断所有顶点是否全部被收录 
    return; 
}

// 返回没有被收录的顶点中dist(长度权重,因为长度权重是前提)最小者
int FindMinDist(MGraph Graph, int dist[], int collected[]){
    int MinV,V;
    int MinDist = MAXVERTEMNUM;
    for(V=0;V<Graph->Nv;V++){
        if(collected[V]==0 && dist[V]<MinDist){
            MinDist = dist[V];
            MinV = V;
        }
    }
    // 顶点全部收录或者还有剩下的顶点不满足收录的要求则返回ERROR 
    if(MinDist<MAXVERTEMNUM)return MinV; 
    else return ERROR;
}

运行结果:

### 浙江大学数据结构PTA关键活动习题解析 在浙江大学的数据结构课程中,关键路径算法用于解决项目管理中的时间安排问题。对于给定的任务网络,通过计算各个顶点事件的最早发生时间和最迟允许发生时间来确定哪些边代表的关键活动决定了整个项目的工期长度[^1]。 #### 定义与概念 在一个AOE网(Activity On Edge Network)里,节点表示事件而弧线则代表着具体的任务或是活动,并且每条边上都附有一个权值用来表明该活动所需的时间开销。如果存在一条从起点到终点最长路径,则这条路径即为所谓的“关键路径”,其上的所有活动都是关键活动。任何一项关键活动延迟都会造成整体工程进度延后。 #### 解决方案概述 为了找到所有的关键活动,需要执行如下操作: - 计算每个顶点所对应事件能够发生的最小可能时刻(称为ve(v),Vertex Earliest time) - 同样地也要求得这些事件最晚应该何时结束而不影响全局计划(vl(v), Vertex Latest time) 当某项活动ai由结点j指向k构成时,只有满足条件`e(i)=l(i)`才说明它是关键性的;这里定义: - `e(i)` 表示此活动中最早的启动时机; - `l(i)` 则指明它最后可被推迟至何刻仍不会拖慢总体流程的速度。 ```python def find_critical_activities(graph, weights): n = len(graph) # 初始化 ve 和 vl 数组 ve = [float('inf')] * n vl = [0] * n # 执行拓扑排序并计算 ve[] order = topological_sort(graph) ve[order[0]] = 0 for node in order: for neighbor in graph[node]: if ve[node] + weights[(node, neighbor)] < ve[neighbor]: ve[neighbor] = ve[node] + weights[(node, neighbor)] # 反向遍历更新 vl[] 值 vl[-1] = ve[-1] critical_edges = [] for i in reversed(order[:-1]): for j in graph[i]: if (ve[i] == vl[j] - weights.get((i,j))): critical_edges.append((i,j)) vl[i] = min(vl[i], vl[j]-weights.get((i,j))) return critical_edges ``` 上述代码实现了寻找关键活动的功能,其中包含了两个主要部分:一是正向传播以获取每个节点上事件能尽早开始的时间;二是逆序处理得到最晚截止期限。最终返回的是那些符合条件的关键边列表。
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