07-图6 旅游规划（浙大数据结构PTA习题）

问题：

有了一张自驾旅游路线图，你会知道城市间的高速公路长度、以及该公路要收取的过路费。现在需要你写一个程序，帮助前来咨询的游客找一条出发地和目的地之间的最短路径。如果有若干条路径都是最短的，那么需要输出最便宜的一条路径。

输入格式:

输入说明：输入数据的第1行给出4个正整数N、M、S、D，其中N（2≤N≤500）是城市的个数，顺便假设城市的编号为0~(N−1)；M是高速公路的条数；S是出发地的城市编号；D是目的地的城市编号。随后的M行中，每行给出一条高速公路的信息，分别是：城市1、城市2、高速公路长度、收费额，中间用空格分开，数字均为整数且不超过500。输入保证解的存在。

输出格式:

在一行里输出路径的长度和收费总额，数字间以空格分隔，输出结尾不能有多余空格。

输入样例:

4 5 0 3
0 1 1 20
1 3 2 30
0 3 4 10
0 2 2 20
2 3 1 20

输出样例:

3 40

代码长度限制: 16 KB        内存限制：64 MB

Java (javac) 时间限制：800 ms        其它编译器时间限制：400 ms

答案：

本题主要考察有权图的单源最短路径算法。由于该题中图含有两个权重类型，并且对时间的限制比较严格，因此这里采用Dijkstra算法进行实现。

示例推演：

dist数组最终反映的是：起点到达各个点最短路径长度；

price数组最终反映的是：在最短路径长度的前提下，起点到达各个点的最少费用总额；

collect数组最终反映的是：各个顶点被收录的情况，未被收录的点即是起点无法到达的点；

 

 

代码展示： 

# include<stdio.h>
# include<stdlib.h>
# define MAXVERTEMNUM 501
# define ERROR -1

// 边结构 
struct ElementType{
    int Weight;    // 长度
    int Price;     // 价格
};

// 图结构（采用邻接矩阵存储边信息） 
typedef struct MGraphNode* MGraph;
struct MGraphNode{
    struct ElementType Martrix[MAXVERTEMNUM][MAXVERTEMNUM];
    int Nv;    // 顶点数 
    int Ne;    // 边数 
};

MGraph CreateMGraph();
void InsertMGraph(MGraph Graph);
int FindMinDist(MGraph Graph, int dist[], int collected[]);
void Dijkstra(MGraph Graph, int dist[],int price[],int Start);

int main(){
    // 创建一个空图
    MGraph Graph = CreateMGraph();
    // 接受起点和终点
    int Start, End;
    scanf("%d %d",&Start,&End);
    // 向图中插入边
    InsertMGraph(Graph);
    // 执行Dijkstra算法；dist存储路径总长度，price存储收费总额 
    int dist[MAXVERTEMNUM], price[MAXVERTEMNUM];
    Dijkstra(Graph,dist,price,Start);
    // 输出结果
    printf("%d %d",dist[End],price[End]);
    // 释放图
    free(Graph); 
    return 0;
}

// 返回一个空图
MGraph CreateMGraph(){
    // 接收顶点和边信息 
    int Nv,Ne;
    scanf("%d %d",&Nv,&Ne);
    MGraph Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct MGraphNode));
    Graph->Nv = Nv;
    Graph->Ne = Ne;
    // 元素结构中的长度和路径初始化为"正无穷"
    int i,j;
    for(i=0;i<Graph->Nv;i++){
        for(j=0;j<Graph->Nv;j++){
            struct ElementType Element = {MAXVERTEMNUM, MAXVERTEMNUM};
            Graph->Martrix[i][j] = Element;
        }
    }
    return Graph;
}

// 向图中插入边
void InsertMGraph(MGraph Graph){
    int V1,V2,Weight,Price;
    int i;
    for(i=0;i<Graph->Ne;i++){
        scanf("%d %d %d %d",&V1,&V2,&Weight,&Price);
        struct ElementType Element = {Weight,Price};
        // 无向图插入两次 
        Graph->Martrix[V1][V2] = Element;
        Graph->Martrix[V2][V1] = Element;
    }
    return; 
}

// Dijkstra算法：实时更新收录一个结点对其（未被收录的）邻接点造成的影响 
void Dijkstra(MGraph Graph, int dist[],int price[],int Start){
	// 记录收录情况的数组 
    int collected[MAXVERTEMNUM];
    // 初始化路径总长度，收费总额，收录数组 
    int V,W; 
    for(V=0;V<Graph->Nv;V++){
        dist[V] = Graph->Martrix[Start][V].Weight;
        price[V] = Graph->Martrix[Start][V].Price;
        collected[V] = 0;
    }
    // 收录起点
    dist[Start] = 0;
    price[Start] = 0;
    collected[Start] = 1;
    // 开始计算起点到达各个顶点的最短路径 
    while(1){
        // V为未被录用顶点中长度权重最小者 
        V = FindMinDist(Graph,dist,collected);
        if(V==ERROR)break;
        // 收录V 
        collected[V] = 1;
        for(W=0;W<Graph->Nv;W++){
        	// V的收录可能会对其未被收录的邻接结点W的权重造成影响 
            if(collected[W]==0 && Graph->Martrix[V][W].Weight<MAXVERTEMNUM){
                // 同理：收录W的其它邻接结点也可能会对W的权重造成影响，因此要进行实时判断更新 
                if(dist[V]+Graph->Martrix[V][W].Weight < dist[W]){
                	// 选择路径最短是首要 
                    dist[W] = dist[V] + Graph->Martrix[V][W].Weight;
                    price[W] = price[V] + Graph->Martrix[V][W].Price;
                }else if(dist[V]+Graph->Martrix[V][W].Weight == dist[W]){
                    // 路径长度相同的情况下，选择费用更少的 
                    if(price[V]+Graph->Martrix[V][W].Price < price[W]){
                        price[W] = price[V]+Graph->Martrix[V][W].Price;
                    }
                }
            }
        }
    }
    // 题目保证了有解的存在，因此不需要判断所有顶点是否全部被收录 
    return; 
}

// 返回没有被收录的顶点中dist（长度权重，因为长度权重是前提）最小者
int FindMinDist(MGraph Graph, int dist[], int collected[]){
    int MinV,V;
    int MinDist = MAXVERTEMNUM;
    for(V=0;V<Graph->Nv;V++){
        if(collected[V]==0 && dist[V]<MinDist){
            MinDist = dist[V];
            MinV = V;
        }
    }
    // 顶点全部收录或者还有剩下的顶点不满足收录的要求则返回ERROR 
    if(MinDist<MAXVERTEMNUM)return MinV; 
    else return ERROR;
}

运行结果：