从最小二乘法看方差的定义

最新推荐文章于 2024-08-18 16:17:29 发布
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AI数学基础（2）——数学期望、方差和最小二乘法
山野村夫pro的专栏
09-03 4912
数学期望、方差和最小二乘法 一、数学期望 数学期望简称期望，说白了就是平均值。 1、离散型 2、连续型 二、方差 也称均方误差，说白了就是考察值与期望（平均值）的偏离程度。 三、最小二乘法 在线程回归中： f(Xi) = WX i+ b，通过训练输入X，得到参数W和b，如何确定W和b呢？关键在于衡量f(x)与y的
广义最小二乘法的基本思想是什么_解决异方差问题的方法可行广义最小二乘法fgls法.ppt...
weixin_33982454的博客
01-14 3122
解决异方差问题的方法可行广义最小二乘法fgls法第五章 模型的建立与估计中的问题及对策;本章内容第一节 误设定第二节 多重共线性第三节 异方差性第四节 自相关; OLS估计量令人满意的性质，是根据一组假设条件而得到的。在实践中，如果某些假设条件不能满足，则OLS就不再适用于模型的估计。下面列出实践中可能碰到的一些常见问题：l误设定(Misspecification 或specificati...
线性回归 最小二乘法 方差
moluchase的专栏
11-25 1万+
线性回归定义：     在上一个主题中，也是一个与回归相关的，不过上一节更侧重于梯度这个概念，这一节更侧重于回归本身与偏差和方差的概念。     回归最简单的定义是，给出一个点集D，用一个函数去拟合这个点集，并且使得点集与拟合函数间的误差最小。        上图所示，给出一个点集(x,y), 需要用一个函数去拟合这个点集，蓝色的点是点集中的点，而红色的曲线是函数的曲线，第一
线性最小二乘法的系数方差估计
游戏里的编程游戏
11-28 7686
线性模型 y=Xβ+ϵ y = X \beta+\epsilon y=Xβ+ϵ ϵ\epsilonϵ假定为白噪声，方差为σ2\sigma^2σ2，y,Xy,Xy,X已经中心化 最小二乘法的解为 β^=(XTX)XTy=X+y \hat{\beta} = (X^TX)X^Ty = X^{+}y β^​=(XTX)XTy=X+y 无偏估量性质 E(β^)=E(X+y)=E(X+(Xβ+ϵ))=E(β...
最小二乘、权、先验方差、后验方差
木卫三的博客
05-11 789
所以即使不同观测方程的单位不同，只需要考虑每个方程的观测值与权的单位一致即可。也无需考虑单位权的问题，单位权固定为1，此时，权为各自观测值方差的倒数。当有多种类型的观测值时，无需考虑不同类型观测方程之间的权重比，只需要考虑当前观测方程中观测值的先验方差σ，令方程的权为1/σ2。当先验方差未知时，可以先大致设置先验方差，用求得的后验方差作为先验方差，迭代求解，直至先验方差和后验方差的比值接近1.当先验方差与后验方差的比值接近1时，表明这个估计时良好的。V的单位与L的单位一致，假设L的单位为m，则P的单位为。
最小均方误差和最小二乘法的关系
qq_43162058的博客
06-22 1万+
均方误差等于方差加上偏差的平方，当估计量无偏时，均方误差等于方差。所以，当满足最小二乘法条件且估计量是无偏估计量，那么求最小均方误差等价于最小二乘法。 均方误差可以看作是加权的最小二乘法，其中的权值表示概率。 所谓无偏，就是我们认为每个样本点出现的概率和真实模拟的数据中样本点出现的概率是一样的。当概率相等即无偏时，我们认为两者等价。 最小二乘法针对的是有限的数据量的概念，而最小均方误差是针对无限数据量的一个概念。最小二乘方法（LS）是最小均方误差（LMSE）在有限个观测值时的时间平均近似，或者说，当观测样本
概率统计——期望、方差与最小二乘法
TechFlow的博客
01-24 2601
本文始发于个人公众号：TechFlow 今天这篇文章和大家聊聊期望和方差。 期望 期望这个概念我们很早就在课本里接触了，维基百科的定义是：它表示的是一个随机变量的值在每次实验当中可能出现的结果乘上结果概率的总和。换句话说，期望值衡量的是多次实验下，所有可能得到的状态的平均结果。 我们举两个简单的例子，第一个例子是掷骰子。 我们都知道一个骰子有6个面，分别是1，2，3，4，5，6。我们每次...
最小二乘法简介
Java/Python大数据随笔
12-21 1563
勒让德在原文中提到：使误差平方和达到最小，在各方程的误差之间建立了一种平衡，从而防止了某一极端误差取得支配地位，而这有助于揭示系统的更接近真实的状态。可以是所有观测点到直线的距离和最小，也可以是所有观测点到直线预测点（真实值-理论值）的绝对值和最小，还可以是所有观测点到直线预测点（真实值-理论值）的平方和最小。类似的，如果模型有n个参数，我们只需要n组观测值即可求解。因此我们可以这样说，最小二乘法其实就是误差满足正态分布的极大似然估计，最小化平方误差本质上等同于在误差服从高斯分布的假设下的最大似然估计。
最小二乘法所用数据.csv
11-20
此外，当数据存在多重共线性、异方差性、非正态性或自相关性等问题时，需要采用更复杂的方法，如岭回归、套索回归、广义最小二乘法等来处理。 总之，最小二乘法是数据分析的重要工具，通过它我们可以建立模型来理解...
深度探索：机器学习中的最小二乘法及其应用
qq_51320133的博客
04-04 2893
在机器学习和数据分析领域，数据拟合是一个至关重要的环节，它旨在通过构建数学模型来描述或预测数据的内在规律。最小二乘法作为一种经典的数据拟合方法，在实际问题中有着广泛的应用，尤其在回归分析、信号处理、系统辨识等领域占据着核心地位。其基本思想是通过最小化误差平方和，寻找最优解以达到最佳的数据匹配效果。
最小二乘法--通俗解释。平方差的总和最小，二乘法就是平方意思。最下二乘法用来寻找你和曲线的关系，下文摘自《机器学习应该准备哪些数学预备知识？》里面的程序算法常用到的数学方法
二进制模----细微行动改变影响世界
12-29 1257
https://blog.youkuaiyun.com/xiaoyue_/article/details/105093113
最小二乘通俗解释
Shannon_1997的博客
04-20 297
转载自：https://blog.youkuaiyun.com/qq_41598072/article/details/83984299 作者：Jacky Yang 链接：https://www.zhihu.com/question/36324957/answer/255970074 来源：知乎 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。 该作者写的确实挺不错的，转载学习一下...
最小二乘估计（3）
m0_72748751的博客
08-18 1050
是正定的，与理论解一致，而式（8）需要三次矩阵求逆计算，因此计算复杂，需要占用更多的计算资源，但在多传感器状态融合估计中可以使融合公式具有统一形式，所以经常在状态融合估计方法中使用。定量描述估计的误差，估计方差是一个很关键的评价指标。本节给出几种最小二乘方法滤波增益和估计方差的求解方法，这些也是卡尔曼滤波器的理论基础。的公式中，式（10）是一个比较简单的表达式，但是数值计算问题可能导致。一般可以认为，所得的估计方差越小，估计方法就越好。，称其为滤波增益，将上式代入估计方差的定义，可以得到。
【概率与统计】最小二乘法
mjiansun的专栏
03-08 2791
这里的距离最小并非点到直线的垂直距离最短，而是点到直接的y轴距离最短，即通过该点并与y轴平行的直线，点到该y轴平行线与直线交点的距离最短，如下图所示的双向箭头。例如在某种疾病是在两种条件下发生的，但是需要当这两种条件满足一定关系时才会促发疾病，因此医生就可以通过患病样本获得患病情况下的两种条件值，标记到一个二维坐标中，通过最小二乘法，可以将患病的两种条件通过函数表达出来，从而当有另外一个新疑似患者就医时，则可以根据二元一次方程确定是否可能患有该疾病。
最小二乘法——高斯-马尔可夫定理的证明，无偏估计、求系数的方差
weixin_41558411的博客
03-18 1万+
为什么最小二乘法这么好用呢！！
相关性、平均值、标准差、相关系数、回归线及最小二乘法
胡杰的专栏
01-20 8万+
平均值、标准差、相关系数、回归线及最小二乘法  相关性 线性相关 数据在一条直线附近波动，则变量间是线性相关 非线性相关 数据在一条曲线附近波动，则变量间是非线性相关 不相关 数据在图中没有显示任何关系，则不相关   平均值 N个数据 的平均值计算公式：       标准差 标准差表示了所有数据与平均值的平均距离，表示了数据的散度，如果标准差小，表示数据
最小二乘平差（常用符号含义 + 常用公式汇总）
一些笔记
12-28 6204
对最小二乘平差中常用符号和公式的汇总
一文让你彻底搞懂最小二乘法（超详细推导）
热门推荐
Luoyingfeng的博客
06-03 39万+
最小二乘法是一种最常用的解决回归问题的方法，它通过最小化误差的平方和来寻找 拟合数据的最佳匹配函数，本文详细介绍了最小二乘法的原理，并从几何角度解释了最小二乘法的几何意义
最小二乘法(least squares)
zjm750617105的专栏
12-06 1万+
都忘了，再回顾一下： 参考知乎 https://www.zhihu.com/question/20447622 该问题下面的部分回答：建议有时间的把问题下面的所有答案都过一遍，这样可以通过不同的切入点来更好的理解。最小二乘法，也叫最小平方法，在古汉语中“平方”称为“二乘”，“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小。（记得赟哥解释过，这个方法起源于日本，就直接拿过来用
加权最小二乘法处理异方差性
最新发布
04-30
### 加权最小二乘法（WLS）处理异方差性问题 #### 1. **加权最小二乘法的核心原理** 当回归模型中的误差项存在异方差性时，普通最小二乘法（OLS）不再是最优估计方法。这是因为 OLS 假设所有观测值的误差具有相同方差，而在异方差的情况下，这种假设不成立。为了解决这个问题，加权最小二乘法通过对不同观测值分配不同的权重来调整模型拟合过程[^2]。 具体而言，对于每一个观测值 $i$，其对应的权重 $w_i$ 定义为其误差方差 $\sigma_i^2$ 的倒数： $$ w_i = \frac{1}{\sigma_i^2} $$ 这样一来，方差较大的观测值会被赋予较低的权重，从而减少它们对最终模型的影响；相反，方差较小的观测值则被赋予较高的权重，使其在模型中占据更重要的地位[^3]。 --- #### 2. **加权最小二乘法的具体实施步骤** ##### （1）**识别并建模误差方差的变化模式** 首先需要确定误差方差随解释变量变化的形式。一种常见做法是基于初步建立的 OLS 模型，考察残差绝对值或平方与预测值之间的关系。例如，可以运行辅助回归： $$ |\hat{\epsilon}_i| = f(\text{fitted values}) $$ 其中，$\hat{\epsilon}_i$ 表示第 $i$ 个样本点的残差，而 fitted values 是由初始 OLS 模型得到的预测值。通过这种方式可以获得关于误差方差如何变化的信息[^3]。 ##### （2）**定义权重函数** 一旦明确了误差方差的变化规律，就可以据此设定相应的权重函数。例如，在简单线性回归场景下，如果发现误差方差与预测值呈正比例关系，则可以选择如下形式的权重： $$ w_i = \frac{1}{\text{(estimated variance)}_i} = \frac{1}{(\beta_0 + \beta_1 \cdot \text{fitted value})^2} $$ 这里 $(\beta_0, \beta_1)$ 可以通过前面提到的辅助回归估算得出[^3]。 ##### （3）**重新拟合 WLS 模型** 最后一步是在原始数据基础上加入新定义好的权重向量，再次运用最小二乘算法求解新的参数估计值。此时的目标函数变为加权版本： $$ S(\boldsymbol{\beta}) = \sum_{i=1}^{n} w_i (y_i - \mathbf{x}_i^\top \boldsymbol{\beta})^2 $$ 相比传统 OLS 方法仅考虑未加权的距离平方和，此处每项都额外乘上了对应位置处指定大小的一个系数因子 $w_i$ 来体现差异化的重视程度[^3]。 --- #### 3. **案例演示——R 实现流程** 下面给出一段完整的 R 代码片段展示如何操作整个过程： ```r # Step 1: Fit initial OLS model model <- lm(score ~ hours, data = df) # Step 2: Define weights based on absolute residuals vs fitted values relationship wt <- 1 / predict(lm(abs(resid(model)) ~ fitted(model)))^2 # Step 3: Perform weighted least squares regression using defined weights wls_model <- lm(score ~ hours, data = df, weights = wt) # Output results summary summary(wls_model) ``` 上述程序先建立了基础版直线拟合方案作为起点，接着依据之前讨论过的思路制定了恰当衡量尺度体系，并将其融入到后续改进后的优化计算环节当中去[^3]。 --- #### 4. **优势总结** 相比于普通的最小二乘技术来说，采用加权策略之后有几个明显的好处值得强调一下： - 提高了效率：因为现在充分利用到了有关个体间不确定度方面的补充知识； - 改善了稳健性：即使面对非同质噪音环境也能维持较好的表现水准； - 更贴近实际情况：很多真实世界里的测量活动本身就伴随着不同程度的质量保障机制，所以这种方法更加契合实际需求特点. ---
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