本文介绍了离散傅里叶级数(DFS)的数学表达式及其适用范围，详细讨论了DFS与DTFT的关系，并阐述了DFS矩阵的概念。在MATLAB中，通过DFS矩阵实现离散傅里叶变换，给出相应的代码示例，并展示最终效果。
DFS的数学表达式
X ~ k = ∑ n = 0 N − 1 x ~ n ∗ e − j 2 π k n N \widetilde X_k = \sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde x_n*e^{\frac{-j2\pi kn} N}} X
k=n=0∑N−1x
n∗eN−j2πkn
其中N是 x ~ n \widetilde x_n x
n的周期，由定义式我们也能得出 X ~ k \widetilde X_k X
k也是一周期为N的序列。
DFS的适用范围
无限长周期序列
DTFT与DFS之间的关系
ω = 2 π k N \omega=\frac{2\pi k} N ω=N2πk这是和DTFT产生联系的地方，说明k带有输入序列的频率信息。DFS可以由DTFT在 ω = 2 π k N , k = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . \omega=\frac{2\pi k} N,k=0,\pm1,\pm2,... ω=N2πk,k=0,±1,±2,...这些点上采样得到。
Δ ω = 2 π N \Delta \omega=\frac{2\pi} N
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