P4004 Hello world!

最新推荐文章于 2025-12-21 15:46:06 发布

原创最新推荐文章于 2025-12-21 15:46:06 发布 · 488 阅读

8 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#算法

文章介绍了如何利用并查集和树状数组高效处理数论问题中的修改和询问操作，通过合理划分和层次结构减少操作次数，从而优化了时间复杂度至O(Q*N/α+6NL*α)。

【思路要点】

一个 $10^{13}$ 以内的数开根 $6$ 次后一定会变成 $1$ ，因此有效的修改次数不会超过 $6 N$ 。

设定一个阈值 $α\alpha$ ，若 $k≥αk\ge\alpha$ ，则暴力进行询问或修改，借助长链剖分求 $k$ 级祖先，单次操作时间复杂度为 $O(Nα)O(\frac{N}{\alpha})$ 。

考虑 $k<αk\lt\alpha$ 的修改，用并查集维护每个点向上 $k$ 的整数倍步第一个能够到达的非 $1$ 的位置，再进行修改，就可以保证找到的位置上的修改有效。并查集大小为 $O(Nα)O(N\alpha)$ 。

考虑 $k<αk\lt\alpha$ 的询问，用 $α\alpha$ 棵树状数组维护子树和即可快速查询。

时间复杂度 $O(Q∗Nα+6NLogN∗α)O(\frac{Q*N}{\alpha}+6NLogN*\alpha)$ 。

【代码】

//Serene
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll long long
#define db double
#define For(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define Rep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
const int maxn=1e5+7,maxs=200+7,maxt=23,W=19;
ll n,m,a[maxn],s;
 
char cc;ll ff;
template<typename T>void read(T& aa) {
    aa=0;cc=getchar();ff=1;
    while((cc<'0'||cc>'9')&&cc!='-') cc=getchar();
    if(cc=='-') ff=-1,cc=getchar();
    while(cc>='0'&&cc<='9') aa=aa*10+cc-'0',cc=getchar();
    aa*=ff;
}
 
int fir[maxn],nxt[maxn],to[maxn],e=0;
void add(int x,int y) {
    to[++e]=y;nxt[e]=fir[x];fir[x]=e;
    to[++e]=x;nxt[e]=fir[y];fir[y]=e;
}
 
int f[maxn];
int find(int x) {return x==f[x]? x:f[x]=find(f[x]);}
 
int fa[maxn][maxt],jp[maxn][maxs],dep[maxn];
void dfs(int pos,int f) {
    int y,z; dep[pos]=dep[f]+1;
    fa[pos][0]=jp[pos][1]=f; jp[pos][0]=pos;
    For(i,1,W) fa[pos][i]=fa[fa[pos][i-1]][i-1];
    For(i,2,s) jp[pos][i]=jp[f][i-1];
    for(y=fir[pos];y;y=nxt[y]) {
        if((z=to[y])==f) continue;
        dfs(z,pos);
    }
}
 
inline int get_fa(int x,int k) {
    if(k<=s) return jp[x][k];
    Rep(i,W,0) if(k>=(1<<i)) {x=fa[x][i]; k-=(1<<i);}
    return x;
}
 
int get_lca(int x,int y) {
    if(dep[x]!=dep[y]) {
        if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
        Rep(i,W,0) if(dep[fa[x][i]]>=dep[y]) x=fa[x][i];
    }
    if(x==y) return x;
    Rep(i,W,0) if(fa[x][i]!=fa[y][i]) {x=fa[x][i]; y=fa[y][i];}
    return fa[x][0];
}
 
void chge(int x) {
    if(a[x]==1) return;
    a[x]=floor(sqrt(a[x]));
    if(a[x]==1) f[x]=find(fa[x][0]);
}
 
int q(int x,int y,int lca,int k) {
    if(dep[y]-dep[lca]>=k) return get_fa(y,k);
    k-=dep[y]-dep[lca]; y=lca;
    return get_fa(x,dep[x]-dep[y]-k);
}
 
inline int lst(int x,int k) {
    if(k>s) return get_fa(x,k);
    int y=find(fa[x][0]);
    int p=(dep[x]-dep[y])%k;
    if(p) p=k-p;
    return jp[y][p];
}
 
void get_chge(int x,int y,int k) {
    int lca=get_lca(x,y),len=dep[x]+dep[y]-2*dep[lca];
    if(len%k) chge(y),y=q(x,y,lca,len%k),lca=get_lca(x,y);
    while(dep[x]>=dep[lca]) {chge(x); x=lst(x,k);}
    while(dep[y]>dep[lca]) {chge(y); y=lst(y,k);}
}
 
ll Yth(int x,int y,int k) {
    int lca=get_lca(x,y),len=dep[x]+dep[y]-2*dep[lca]; ll rs=0;
    if(len%k) rs+=a[y],y=q(x,y,lca,len%k),lca=get_lca(x,y);
    rs+=(dep[x]+dep[y]-2*dep[lca])/k+1;
    while(dep[x]>=dep[lca]) {rs+=a[x]-1; x=lst(x,k);}
    while(dep[y]>dep[lca]) {rs+=a[y]-1; y=lst(y,k);}
    return rs;
}
 
int main() {
    read(n); int op,x,y,k;
    s=min(200,(int)sqrt(n)+1);
    For(i,1,n) read(a[i]),f[i]=i;
    For(i,1,n-1) {
        read(x); read(y);
        add(x,y);
    }
    dfs(1,0); read(m);
    For(i,1,n) if(a[i]==1) f[i]=fa[i][0];
    For(i,1,m) {
        read(op); read(x); read(y); read(k);
        if(op==0) get_chge(x,y,k);
        else printf("%lld\n",Yth(x,y,k));
    }
    return 0;
}