[Luogu P1306] 斐波那契公约数

最新推荐文章于 2025-08-19 12:57:00 发布

LPA20020220

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分类专栏：数学矩阵文章标签：数学矩阵

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本文深入解析了Fibonacci数列中任意两项最大公约数的求解方法，通过数学推导揭示了一个关键结论：gcd(F[n], F[m]) = F[gcd(n, m)]。并介绍了如何利用矩阵快速幂算法实现高效计算。

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题目描述

对于Fibonacci数列： $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 . . . . . .$ 大家应该很熟悉吧~~~但是现在有一个很“简单”问题：第 $n$ 项和第 $m$ 项的最大公约数是多少？

Update：加入了一组数据。

输入输出格式

输入格式：

两个正整数 $n$ 和 $m$ 。（ $n,m\le 10^9$ ）

注意：数据很大

输出格式：

$F_n和F_m$ 的最大公约数。

由于看了大数字就头晕，所以只要输出最后的 $8$ 位数字就可以了。

输入输出样例

输入样例#1：

4 7

输出样例#1：

说明

用递归&递推会超时

用通项公式也会超时

解题分析

做完这道题某数竞大佬才告诉我这是个常用结论qwq…

设不妨 $m > n$ ， $F [n] = a, F [n + 1] = b$ ，那么
$F[m]=F[m-n-1]\times a+F[m-n]\times b \\ =F[m-n-1]\times F[n]+F[m-n]\times F[n+1]$
所以：
$gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n]\times F[n+1])$
又因为
$\\=gcd(F[n],F[n] + F[n-1]) \\= gcd(F[n-1],F[n]) \\=... \\=1$
所以
$g c d (F [n], F [m]) = g c d (F [n], F [m - n])$
如此递归下去即可得 $g c d (F [n], F [m]) = F [g c d (n, m)]$ 。

然后套个矩阵快速幂即可 $A C$ 。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define MOD 100000000
#define ll long long
struct Matrix
{
    ll mat[2][2];
    void clear() {memset(mat, 0, sizeof(mat));}
    void set_unit() {clear(); mat[0][0] = mat[1][1] = 1;}
};
IN Matrix operator * (const Matrix &x, const Matrix &y)
{
    Matrix ret; ret.clear();
    for (R int i = 0; i < 2; ++i)
    for (R int j = 0; j < 2; ++j)
    for (R int k = 0; k < 2; ++k)
    ret.mat[i][j] += x.mat[i][k] * y.mat[k][j];
    for (R int i = 0; i < 2; ++i)
    for (R int j = 0; j < 2; ++j)
    ret.mat[i][j] %= MOD;
    return ret;
}
IN Matrix fpow (R int tim)
{
    Matrix ret; ret.set_unit();
    Matrix mul = (Matrix){0, 1, 1, 1};
    W (tim)
    {
        if(tim & 1) ret = ret * mul;
        mul = mul * mul, tim >>= 1;
    }
    return ret;
}
int main(void)
{
    int n, m, temp;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    temp = std::__gcd(n, m);
    if(temp <= 2) return puts("1"), 0;
    Matrix ini = (Matrix){1, 0, 1, 0};
    Matrix res = fpow(temp - 2);
    printf("%d", (res * ini).mat[1][0]);
}