[Luogu P4072] [BZOJ 4518] [SDOI2016]征途

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题目描述

Pine开始了从$S$地到$T$地的征途。

从$S$地到$T$地的路可以划分成$n$段，相邻两段路的分界点设有休息站。

Pine计划用$m$天到达$T$地。除第$m$天外，每一天晚上Pine都必须在休息站过夜。所以，一段路必须在同一天中走完。

Pine希望每一天走的路长度尽可能相近，所以他希望每一天走的路的长度的方差尽可能小。

帮助Pine求出最小方差是多少。

设方差是$v$，可以证明，$v\times m^2$是一个整数。为了避免精度误差，输出结果时输出$v\times m^2$。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个数 $n$、$m$。

第二行 $n$ 个数，表示 $n$ 段路的长度

输出格式：

一个数，最小方差乘以 $m^2$ 后的值

输入输出样例

输入样例#1：

5 2
1 2 5 8 6

输出样例#1：

36

说明

对于 $30\%$ 的数据，$1\le n\le 10$

对于 $60\%$ 的数据，$1\le n\le 100$

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 3000$

保证从 $S$ 到 $T$ 的总路程不超过 $30000$ 。

解题分析

我们先一波化简， 发现答案是$({\sum }_{i=1}^{n}x{)}^2+n{\sum }_{i=1}^n{x}^2$。前面那玩意是个常数， 后面我们也只需要求出${\sum }_{i=1}^n{x}^2$的最小值就好了。

设$dp[i][j]$表示我们已经走了$i$天， 走了$j$段路，$sum[j]$为$j$段路的长度和，那么设当前的最优解为第$i-1$天走了$k$段路 ，我们尝试从第$u$段路$(u>k)$去转移 ，如果更优的话那么就有：
$$\begin{gathered} dp[i-1][k]+(sum[j]-sum[k]{)}^2>dp[i-1][u]+(sum[j]-sum[u]{)}^2 \\ dp[i-1][k]-2\ast sum[j]\ast sum[k]+sum[k{]}^2>dp[i-1][u]-2\ast sum[j]\ast sum[u]+sum[u{]}^2 \end{gathered}$$
我们发现有一部分只与$j$有关， 提出来：
$$\frac{dp[i-1][u]-dp[i-1][k]+sum[u{]}^2-sum[k{]}^2}{sum[u]-sum[k]}<2\ast sum[j]$$
发现右边左边都是单增的， 那么就可以一波斜率优化了。
听说可以带权二分搞到$O(nlog(\sum x))$？蒟蒻不会， 留坑…
代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define db double
#define MX 3050
#define ll long long
template <class T>
IN void in(T &x)
{
    x = 0; R char c = gc;
    for (; !isdigit(c); c = gc);
    for (;  isdigit(c); c = gc)
    x = (x << 1) + (x << 3) + c - 48;
}
template <class T> IN T sqr (const T &x) {return x * x;}
ll dp[MX][MX], sum[MX];
int que[MX];
int tot, seg, head, tail;
IN db slope(R int cur, R int now, R int tar) {return 1.0 * (dp[cur][now] - dp[cur][tar] + sqr(sum[now]) - sqr(sum[tar])) / (sum[now] - sum[tar]);}
int main(void)
{
    int buf, best;
    in(tot), in(seg);
    std::memset(dp, 63, sizeof(dp)); dp[0][0] = 0;
    for (R int i = 1; i <= tot; ++i) in(buf), sum[i] = sum[i - 1] + buf;
    for (R int i = 1; i <= tot; ++i) dp[1][i] = sqr(sum[i]);
    for (R int i = 2; i <= seg; ++i)
    {
        head = 1, tail = 0;
        std::memset(que, 0, sizeof(que));
        for (R int j = 1; j <= tot; ++j)
        {
            W (head < tail && slope(i - 1, que[head], que[head + 1]) <= 2 * sum[j]) ++head;
            best = que[head];
            dp[i][j] = dp[i - 1][best] + sqr(sum[j] - sum[best]);
            W (head < tail && slope(i - 1, que[tail - 1], que[tail]) > slope(i - 1, que[tail], j)) --tail;
            que[++tail] = j;
        }
    }
    printf("%lld", 1ll * seg * dp[seg][tot] - sqr(sum[tot]));
}