【模板】【笔记】数论各种姿势等等

数论的东西比较烦…最近脑子有点乱，学一点就赶紧记下来，以免忘了……

先贴个线性筛：

void shai()
{
    for(int i = 2,tot = 0;i <= n;i ++)
    {
        if(!vis[i]) pri[++ tot] = i;//当i是素数时
        for(int j = 1,m;j <= tot && (m = i * pri[j]) <= n;j ++)
        {
            vis[m] = 1;
            if(i % pri[j] == 0) { break; }//pri[j]是i的最小质因子时，若继续枚举素数，则枚举的素数将不是m的最小质因子。因为i中可以分解出更小的质因子，显然这个更小的质因子也是m的质因子。***此时m的最小质因子指数不为1***
            else ;//pri[j]不是i的一个因子时，pri[j]就是m的最小质因子。***此时m的最小质因子指数为1***
        }
    }

}

线性筛是$O(n)$，因为每个合数都被它的最小质因子筛去。

一、基本积性函数

1.欧拉函数（$\phi(n)$）

$\phi(n)=n\prod(1-\frac{1}{p_i})$

当n是质数，$\phi(n) = n-1$。
当$n=p*i$，其中p是i的一个因数，则因为$\phi(i)=i\prod(1-\frac{1}{p_i})$，所以$\phi(n)=n\prod(1-\frac{1}{p_i})=p*i\prod(1-\frac{1}{p_i})=p*\phi(i)$。
当$n=p*i$，p不是i的一个因数，则gcd(p,i)=1，所以根据积性函数得：$\phi(n)=\phi(p)*\phi(i)$。

代码：

void shai()
{
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2,tot = 0;i <= n;i ++)
    {
        if(!vis[i]) pri[++ tot] = i,phi[i] = i - 1;
        for(int j = 1,m;j <= tot && (m = i * pri[j]) <= n;j ++)
        {
            vis[m] = 1;
            if(i % pri[j] == 0) { phi[m] = phi[i] * pri[j]; break; }
            else { phi[m] = phi[i] * (pri[j] - 1);  }
        }
    }

}

2.莫比乌斯函数（$\mu(n)$）

定义：

$$\mu(n)= \begin{cases} 1 & \text{if $n$ = 1}\\ 0 & \text{if $n$ 的某个质因数的指数大于1时}\\ (-1)^r & \text{$n$ 的质因数个数为 $r$} \end{cases}$$
所以：
当n是素数，显然$\mu(n)=-1$
当$n=p*i$，其中p是i的一个因数，显然$p^2|n$，所以$\mu(n)=0$
当$n=p*i$，其中p不是i的一个因数，因数个数改变了奇偶性，显然$\mu(n)=-\mu(i)$

代码：

void shai()
{
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2,tot = 0;i <= n;i ++)
    {
        if(!vis[i]) pri[++ tot] = i,mu[i] = -1;
        for(int j = 1,m;j <= tot && (m = i * pri[j]) <= n;j ++)
        {
            vis[m] = 1;
            if(i % pri[j] == 0) { mu[m] = 0; break; }
            else { mu[m] = -mu[i];  }
        }
    }

}

3.约数个数（$d(n)$）

$d(n)=\prod(a_i+1)$，$a_i$是$p_i$的指数。
约数个数和分解后的指数的值密切相关，所以再记$cnt(n)$为n的最小质因数的指数。

当n是质数：$d(n)=2$，$cnt(n)=1$。
当$n=p*i，p^2|i$，相当于p的指数增加了1，$cnt(n)=cnt(i)+1$。因为$d(n)=\prod(a_i+1)$，所以$d(n)=\frac{d(i)}{cnt(i)+1}*(cnt(n)+1)$
当$n=p*i$，p不是i的因数，此时p的$a_i$为1，因为$d(n)=\prod(a_i+1)$，所以$d(n)=d(i)*2$，$cnt(n)=1$

代码：

void shai()
{
    d[1] = 1;
    for(int i = 2,tot = 0;i <= n;i ++)
    {
        if(!vis[i]) pri[++ tot] = i,d[i] = 2,cnt[i] = 1;
        for(int j = 1,m;j <= tot && (m = i * pri[j]) <= n;j ++)
        {
            vis[m] = 1;
            if(i % pri[j] == 0) { cnt[m] = cnt[i] + 1; d[m] = d[i]/(cnt[i] + 1) * (cnt[m] + 1); break; }
            else { cnt[m] = 1; d[m] = d[i] << 1;  }
        }
    }

}

还有一些积性函数，比如：

4.常函数1（$1$）

就是1。

5.id（$id(i)$）

$id(i)=i$

6.e（$e(i)$）

$$e(i)= \begin{cases} 1 & \text{if $i$ = 1}\\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}$$

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二、莫比乌斯反演/狄利克雷积

狄利克雷积：

设$f(n)和g(n)$都是积性函数。

$$(f*g)(n)=f(n)*g(n)$$
$$(f \times g)(n)=\sum_{d|n}f(d)*g(\frac{n}{d})$$
$f*g和f \times g$都是积性函数。

$$n = \sum_{d|n}\phi(d)$$

$$e(n) = \sum_{d|n}\mu(d)$$

可以写成

$$id=\phi \times 1$$

$$e=\mu \times 1$$

莫比乌斯反演：

设$f(n)=\sum_{d|n}F(d)$，则

$$F(n)=\sum_{d|n}\mu(d)*f(\frac{n}{d})$$
可以各种简化运算和转化问题…

三、一些公式的推导

$$\sum_{i<=n}gcd(i,n)$$

$$=\sum_{i<=n}\sum_{d|i \ d|n}\phi(d)$$

$$=\sum_{d|n}\phi(d)*\frac{n}{d}$$

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$$\sum_{i<=n}\sum_{j<=m}gcd(i,j)$$

$$=\sum_{i<=n}\sum_{j<=m}\sum_{d|i \ d|j}\phi(d)$$

$$=\sum_{d<=min(n,m)}\phi(d)*\lfloor \frac{n}{d}\rfloor * \lfloor \frac{m}{d}\rfloor$$

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设$f(n)=\frac{1}{n}$，$f(n)=\sum_{d|n}F(d)$，那么$F(n)=\sum_{d|n}\mu(d)*f(\frac{n}{d})$。

$$\sum_{i<=n}lcm(i,n)$$

$$=n\sum_{i<=n}i*f(gcd(i,n))$$

$$=n\sum_{i<=n}i*\sum_{d|i \ d|n}F(d)$$

$$=n\sum_{d|n}F(d)*\sum_{i<=n}i[d|i]$$

$$=n\sum_{d|n}F(d)*d*\sum_{i<=n/d}i$$

$$=n\sum_{d|n}F(d)*\frac{n*(n/d+1)}{2}$$

$$=\frac{n^2}{2}(F\times1+F\times id)$$

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$$\sum_{i<=n}\sum_{j<=m}lcm(i,j)$$

$$=\sum_{i<=n}\sum_{j<=m}i*j*f(gcd(i,j))$$

$$=\sum_{i<=n}\sum_{j<=m}i*j*\sum_{d|i \ d|j}F(d)$$

$$=\sum_{d<=min(n,m)}F(d)*\sum_{i<=n}\sum_{j<=m}i*j[d|i \ d|j]$$

$$=\sum_{d<=min(n,m)}F(d)*d*d*SUM(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor,\lfloor \frac{m}{d}\rfloor)$$

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$$\sum_{i<=n}i[gcd(i,n)=1]$$

$$=\sum_{i<=n}i*e(gcd(i,n))$$

$$=\sum_{i<=n}i*\sum_{d|i \ d|n}\mu(d)$$

$$=\sum_{d|n}\mu(d)*\sum_{i<=n}i[d|i]$$

$$=\frac{n}{2}(\sum_{d|n}\mu(d)*\frac{n}{d}+\sum_{d|n}\mu(d))$$

$$=\frac{n}{2}(\phi + e)$$

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奇怪的小技巧

筛积性函数注意推$f(p^k)$。
二维问题先思考一维情况。

参考资料：《数论函数变换》——kAc