N染色的数学推导与递推公式解析-优快云博客

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博客详细介绍了N染色问题的解决方案，通过数学推导得出边数为n的方案总数dp[n]的递推公式。内容包括当边数增加时的不同情况分析，特别指出n=3时的特殊情况，并给出了根据递推方程求解通项的步骤，最终得出dp[n]的表达式。

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N染色
本题基本都打表过的，我来一个数学推导
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记边数为n的方案总数为dp[n]

$对于新的一条边，与这条边相邻的边可能相同也可能不同，$
$若不同，即为 d p [n - 1] 的方案数，而本条边就有 m - 2 种填法$
$若相同，即为 d p [n - 2] 的方案数，填满 n - 2 条边，此时加进第 n - 1 条边，则 n - 1 条边和第 1 条边颜色相同，则第 n 条边有 m - 1 种填法$
$所以, d p [n] = (m - 2) * d p [n - 1] + (m - 1) * d p [n - 2]$
$但 n = 3 时是特例，以为与第三条边相邻的第一条和第二条颜色一定不等，所以我们可以把 d p [1] = 0 ， d p [2] = m * （ m - 1 ）$
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详见必修5，根据递推方程，
$我们得到通项dp_n=A*(m-1)^n+B*(-1)^n$
$代入 d p [1], d p [2] 即可解出通项$
$最后得到dp[n]=(m-1)^n+(m-1)*(-1)^n$
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
ll mod=1e9+7;ll n,m;
ll ksm(ll x,ll pow){
	ll ans=1,res=x%mod;
	while(pow){
		if(pow&1) ans=ans*res%mod;
		res=res*res%mod;
		pow>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%lld%d",&n,&m);
	ll tmp;if(n%2==1) tmp=1-m;if(n%2==0) tmp=m-1;
	ll sum=ksm(m-1,n);
	ll ansout=sum+tmp;
	printf("%lld",ansout);
}