算法篇-筑基期-递归思想-优快云博客

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前言

当你学会"套娃式思考"，老板都怕你写代码！

各位在代码江湖摸爬滚打的少侠们，今天我们要解锁一个堪比"左右互搏术"的神奇技能——递归！它能让你的代码像俄罗斯套娃一样优雅，也能让你的电脑内存像双十一购物车一样爆炸。有人说递归是程序员的"盗梦空间"，每一层递归都是新的梦境；也有人说递归就是程序员的"鬼打墙"，走着走着发现又回到了原点。别慌，且听我慢慢道来...

想象一下这个场景：你在公司茶水间想接咖啡，却发现咖啡机显示"请先清理咖啡渣"，于是你按下清理按钮，机器提示"清理前请先取出滤网"，当你试图取出滤网时，机器又发出警告"操作滤网前请关闭电源"... 恭喜你！你已经用肉身体验了递归的奥义——解决问题之前总得先解决另一个问题，直到触发某个终止条件（比如你最终选择下楼买星巴克）。这，就是递归教给我们的人生哲理。

一、为什么要用递归？

递归的核心价值在于 简化问题复杂度：

自然分解：许多问题（如树遍历、分治算法）天然具备 自相似性，递归能直接映射问题结构。
代码简洁：递归可以用少量代码描述重复性逻辑（如阶乘、斐波那契数列）。
思维直观：递归符合人类对 “分而治之” 的直觉，通过解决子问题组合出原问题的解。

这里就已经将递归的本质提出！

二、递归思想的本质是什么？

递归的本质是 子问题和父问题的相似性 和 问题降维：

函数自调用：函数通过调用自身缩小问题规模，直到达到最小可解状态。
栈结构操作：递归依赖 调用栈（Call Stack） 保存中间状态，每次递归调用对应栈帧的入栈和出栈。
数学归纳法映射：递归的终止条件对应归纳法的基例，递推关系对应归纳步骤。

讲到这里大家可能已经被这些专业术语给搞蒙了，没关系。我们立即来看一道简单的例题来验证下这个递归的本质！

三、递归举例：跳楼梯问题

问题描述

假设有 n 级台阶，每次可跳 1 级或 2 级，求到达第 n 级的所有可能路径数。

套娃式上楼梯实操手册

自调用の奥义：当你在第5级台阶时，突然觉醒："等等！我现在能走到这里，不正是因为从第4级跨了1步，或者从第3级跨了2步吗？"--父问题与子问题的相似结构--导致能分解成多个子问题来解决 于是你当场分裂成两个平行宇宙的你：一个在台阶4苦思冥想，一个在台阶3抓耳挠腮——完美诠释函数自调用！
调用栈の惨案：每分裂一次，你的脑内存就多压入一个"未完成台阶"的思维存档。当你好不容易走到第1级台阶（终于能返回1种方法数），却发现： "淦！我是不是忘了台阶2的存档还在栈里？" ——这像极了周末加班时，老板不断往你待办列表里塞新任务的模样。
数学归纳法の浪漫：只要相信两个真理：
- 基例真理：站在台阶1的你举得起玫瑰（f(1)=1），站在台阶2的你能摆出爱心手势（f(2)=2）
- 递推信仰：每个台阶n的姿势数量，都是前两个台阶姿势的排列组合就能用递归公式 f(n) = f(n-1) + f(n-2) 推导出所有可能！

递归分析

终止条件：
- 当 n=1 时，只有 1 种方式（跳 1 级）。
- 当 n=2 时，有 2 种方式（1+1 或 2）。
递推关系：
- 到达第 n 级的方式 = 从 n-1 级跳 1 级 + 从 n-2 级跳 2 级。
- 即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

#include <iostream>

// 递归函数：计算跳n级台阶的方法数
int jumpStairs(int n) {
    // 基准条件处理
    if (n == 1) return 1;  // 只有1级台阶时1种方式
    if (n == 2) return 2;  // 有2级台阶时2种方式
    
    // 递推关系：f(n) = f(n-1) + f(n-2)
    return jumpStairs(n - 1) + jumpStairs(n - 2);
}

int main() {
    // 测试案例
    int test_cases[] = {1, 2, 3, 4, 5};
    
    for (int n : test_cases) {
        std::cout << "台阶数: " << n 
                  << "  方法数: " << jumpStairs(n) 
                  << std::endl;
    }
    
    return 0;
}

时间复杂度：O(2^n)（存在重复计算，可通过记忆化优化为 O(n)）

图解分析

假如现在有20个台阶

按照递归--递去（分解成子问题）的思想。分解成F(19)+F(18)。.....

注意在分解成子问题进行解决的时候，系统会给每个子问题单独创建一个栈帧来存放局部变量的变化和子问题的结果（n:台阶数--res:方案数)--在这个图中粗略可以把树的节点当作栈帧。

接着-就该归来（分解到边界处--即人类可以不用计算就能得出的已知答案的台阶层数的F(1),F(2))

通过已知的答案-归来时计算出每个父问题的答案并记录在栈帧中--直到所求的第二十层！！）

这里的树形结构属于算法结丹期的内容--还请关注，敬请期待哦！

现在大家应该明白了递归的过程以及它的本质了吧！

那么我们就能总结出递归的条件以及做题思路了！

四、递归的条件与思路步骤

一个合法的递归必须满足以下条件：

条件	说明
1. 终止条件	必须存在明确的基准情形（Base Case），防止无限递归导致栈溢出。
2. 递推关系	问题规模需逐步向终止条件靠近，每次递归调用参数更接近基准情形。
3. 问题可分解	原问题可拆分为结构相同但规模更小的子问题，且子问题的解能合并为原问题的解。

步骤：1.根据题目的变量确定函数的参数（搜索什么，需要有哪些全局变量和局部变量来描述）**

2.根据抽象出来的题目-考虑参数如何变化（如何分解成结构相似的子问题）

3.找到递归出口-最简单的情况的答案--用于作为初始化的条件和递归的中止（如何终止）**

五、递归与其他算法的联系

下面这些算法以后都会更新哦！还请多多关注！

算法/思想	与递归的关系
分治算法	分治是递归的典型应用，将问题分解为多个子问题（如归并排序）。
动态规划（DP）	递归是 DP 的暴力解法，DP 通过记忆化或制表法优化递归的重复计算（如斐波那契数列）。
回溯算法	回溯本质是递归 + 剪枝，通过递归探索所有可能性，发现无效路径时回退（如八皇后问题）。
迭代	递归可通过尾递归优化或栈模拟转换为迭代，避免栈溢出（如树的遍历）。

六、递归的优缺点

优点	缺点
代码简洁，逻辑清晰	栈空间占用大，可能栈溢出
天然适配分治、树结构问题	存在重复计算（可通过记忆化优化）
便于理解复杂问题	调试困难（多层调用栈难以跟踪）