霍纳法则(Horner Rule)--计算多项式的值

最新推荐文章于 2025-02-05 00:15:00 发布

CODERLIHAO

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本文介绍了一种高效求解多项式的算法——霍纳法则，通过改变多项式的计算方式，将时间复杂度从O(nk)降低到O(n)，并提供了具体的实现代码和性能对比。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

假设有n+1个实数 a₀，a₁，…，a_n ,和x的序列，要对多项式P_n(x)= a_nxⁿ +a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ 求值，直接方法是对每一项分别求值，并把每一项求的值累加起来，这种方法十分低效，时间复杂度O(n^k)。
有没有更高效的算法呢?答案是肯定的。通过如下变换我们可以得到一种快得多的算法，即
P_n(x)= a_nxⁿ +a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=((…(((a_nx +a_n-1)x+a_n-2)x+ a_n-3)…)x+a₁)x+a₀
这种求值的方法我们称为霍纳法则
比如
P_n(x) = 2x⁴ -x³ - 3x²+ x - 5
P_n(x) = x(2x³ -x² - 3x+ 1) - 5
P_n(x) = x(x(2x² -x - 3)+ 1) - 5
P_n(x) = x(x(x(2x -1) - 3)+ 1) - 5
这样时间复杂度就变成O(n)了。

    function horner(a,x) {
        let length = a.length;
        //获取最高阶的系数
        let temp  = a[0];
        for (let i = 1; i < length; i++) {
            temp = x * temp + a[i];
        }
        return temp
    }

    function stupid(a,x){
        let length = a.length;
        let temp = 0;
        for (let i = 0; i < length; i++) {
            temp += a[i] * Math.pow(x,length-1-i);
        }
        return temp
    }

    let a = [1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,
        4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2,1,4,2];
    let x = 3;

    let start =  Date.now();
    for (let i = 0; i <1000000; i++) {
        horner(a,x);
    }
    console.log("horner time = ",(Date.now() - start));

    start =  Date.now();
    for (let i = 0; i <1000000; i++) {
        stupid(a,x);
    }
    console.log("stupid time = ",(Date.now() - start));

两个计算结果有着巨大的差异