LeetCode-53：Maximum Subarray （和最大的连续子数组）

Question

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

example：

given the array [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
the contiguous subarray [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

问题解析：

在给定数组中找到和最大的连续子数组，子数组至少包含一个元素。

Answer

Solution 1：

DP解决。

• 首先以本题的例子解释一下：已知数组的前k个元素的和最大子的序列的和为maxSub（每次均比较记录），以及前k个数组的临时和sum。如果添加了第k+1个元素，由于题目中说明是连续子序列这个限制，所以如果k+1这个元素之前的和，也就是sum是小于0的，那么前面的和对于增加的k+1这个元素从而去组成最大子序列是没有贡献的，所以可以直接将sum置0。
• 如题目中的数组：[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，就以前两个元素[-2,1]为例，sum = -2 < 0 ，对于数字1来说，加前面的数组-2只会减小它，所以直接置sum=0，新的sum=0+1=1；对[-2,1,-3,4]来说，子数组[-2,1,-3]经过计算后的临时sum = -2 < 0，对于数字4来说，前面的和只会减小它，所以直接置sum=0，新的sum=0+4=4；
• 注意，只要sum不减到负数，中间出现小于0的元素是没关系的，sum仍然可以继续累加。
• 算法：利用动态规划思想，已知0,..,k的最大和以后，0,…k+1的最大和为：
  1）若sum[k]>=0,sum[k+1]=sum[k]+A[k+1]；
  2）若sum[k]<0,sum[k+1]=A[k+1]。

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int maxSoFar = nums[0], maxEndingHere = nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; ++i){
            maxEndingHere = Math.max(maxEndingHere+nums[i], nums[i]);
            maxSoFar = Math.max(maxSoFar, maxEndingHere);   
        }
        return maxSoFar;
    }
}

• 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(1)

public int maxSubArray(int[] A) {
        int n = A.length;
        int[] dp = new int[n];//dp[i] means the maximum subarray ending with A[i];
        dp[0] = A[0];
        int max = dp[0];

        for(int i = 1; i < n; i++){
            dp[i] = A[i] + (dp[i - 1] > 0 ? dp[i - 1] : 0);
            max = Math.max(max, dp[i]);
        }

        return max;
}

• 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(n)

Solution 2：

贪心算法。

• 下面的思想其实和DP是相似的。其从头开始一直保持将数组加入进来，直到sum < 0，则将sum置为0，ans一直保存最大的和。

/*
Idea is very simple. Basically, keep adding each integer to the sequence until the sum drops below 0. If sum is negative, then should reset the sequence.
*/
class Solution {
    public int maxSubArray(int A[], int n) {
        int ans=A[0],i,j,sum=0;
        for(i=0;i<n;i++){
            sum+=A[i];
            ans=max(sum,ans);
            sum=max(sum,0);
        }
        return ans;
    }
}

• 时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(1)