poj3070 Fibonacci

最新推荐文章于 2021-10-08 19:54:56 发布

Kirito_Acmer

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分类专栏：矩阵快速幂文章标签：矩阵快速幂

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Kirito_Acmer/article/details/50135329

矩阵快速幂专栏收录该内容

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂的方法来高效计算斐波那契数列中特定项的最后四位数字。该方法适用于大整数计算场景，并通过两个不同的实现方案进行了展示。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Fibonacci

Time Limit: 1000MS		Memory Limit: 65536K
Total Submissions: 11510		Accepted: 8179

Description

In the Fibonacci integer sequence, F₀ = 0, F₁ = 1, and F_n = F_n_{− 1} + F_n_{− 2} for n ≥ 2. For example, the first ten terms of the Fibonacci sequence are:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

An alternative formula for the Fibonacci sequence is

Given an integer n, your goal is to compute the last 4 digits of F_n.

Input

The input test file will contain multiple test cases. Each test case consists of a single line containing n (where 0 ≤ n ≤ 1,000,000,000). The end-of-file is denoted by a single line containing the number −1.

Output

For each test case, print the last four digits of F_n. If the last four digits of F_n are all zeros, print ‘0’; otherwise, omit any leading zeros (i.e., print F_n mod 10000).

Sample Input

Sample Output

0
34
626
6875
这题可以用矩阵快速幂，算是入门题。
方法一：直接计算.
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define inf 0x7fffffff
#define pi acos(-1.0)
#define MOD 10000
ll fast_mod(ll n)
{
    ll i,j,k;
    ll ans[2][2]={1,0,0,1}; //初始化为单位矩阵，也是最终的答案
    ll temp[2][2];  //做为矩阵乘法中的中间变量
    ll a[2][2]={1,1,1,0};
    while(n)
    {
        if(n&1){        //实现 ans*=t,其中要先把ans赋值给tmp然后用ans=tmp*t
            for(i=0;i<2;i++){
                for(j=0;j<2;j++){
                    temp[i][j]=ans[i][j];
                }
            }
            ans[0][0]=ans[0][1]=ans[1][0]=ans[1][1]=0;
            for(i=0;i<2;i++){
                for(j=0;j<2;j++){
                    for(k=0;k<2;k++){
                        ans[i][j]=(ans[i][j]+(temp[i][k]*a[k][j]+MOD)%MOD+MOD  )%MOD;
                    }
                }
            }
        }
        for(i=0;i<2;i++){
            for(j=0;j<2;j++){
                temp[i][j]=a[i][j];
            }

        }
        a[0][0]=a[0][1]=a[1][0]=a[1][1]=0;
        for(i=0;i<2;i++){
            for(j=0;j<2;j++){
                for(k=0;k<2;k++){
                    a[i][j]=(a[i][j]+(temp[i][k]*temp[k][j]+MOD)%MOD+MOD )%MOD; //这里先加MOD然后再取模是为了模完后不为负数
                }
            }
        }
        n>>=1;
    }
    return (ans[0][1]+MOD)%MOD;
}


int main()
{
    ll n,m,i,j;
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF && n!=-1){
        printf("%lld\n",fast_mod(n));
    }
    return 0;
}                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           方法二：考虑1×2的矩阵【f[n-2],f[n-1]】。我们可以通过乘以一个2×2的矩阵A，得到矩阵：【f[n-1],f[n]】。


即：【f[n-2],f[n-1]】*A = 【f[n-1],f[n]】=【f[n-1],f[n-1]+f[n-2]】


可以构造出这个2×2矩阵A，即：
０ １ 
１ １
所以，有【f[1],f[2]】×A＝【f[2],f[3]】
又因为矩阵乘法满足结合律，故有：
【f[1],f[2]】×A ^(n-1) =【f[n],f[n+1]】                                                                                                                                                                                                                                <pre name="code" class="cpp">#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define inf 0x7fffffff
#define pi acos(-1.0)
#define MOD 10000
ll ans[2][2];
void fast_mod(ll n)
{
    ll i,j,k;
    ll temp[2][2];  //做为矩阵乘法中的中间变量
    ll a[2][2]={0,1,1,1};
    while(n)
    {
        if(n&1){        //实现 ans*=t,其中要先把ans赋值给tmp然后用ans=tmp*t
            for(i=0;i<2;i++){
                for(j=0;j<2;j++){
                    temp[i][j]=ans[i][j];
                }
            }
            ans[0][0]=ans[0][1]=ans[1][0]=ans[1][1]=0;
            for(i=0;i<2;i++){
                for(j=0;j<2;j++){
                    for(k=0;k<2;k++){
                        ans[i][j]=(ans[i][j]+(temp[i][k]*a[k][j]+MOD)%MOD+MOD  )%MOD;
                    }
                }
            }
        }
        for(i=0;i<2;i++){
            for(j=0;j<2;j++){
                temp[i][j]=a[i][j];
            }

        }
        a[0][0]=a[0][1]=a[1][0]=a[1][1]=0;
        for(i=0;i<2;i++){
            for(j=0;j<2;j++){
                for(k=0;k<2;k++){
                    a[i][j]=(a[i][j]+(temp[i][k]*temp[k][j]+MOD)%MOD+MOD )%MOD; //这里先加MOD然后再取模是为了模完后不为负数
                }
            }
        }
        n>>=1;
    }
}


int main()
{
    ll n,m,i,j;
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF && n!=-1){
        if(n==0){
            printf("0\n");continue;
        }
        if(n==1){
            printf("1\n");continue;
        }
        if(n==2){
            printf("1\n");continue;
        }
        ans[0][0]=1;
        ans[0][1]=0;
        ans[1][0]=0;
        ans[1][1]=1;
        fast_mod(n-1);
        printf("%lld\n",ans[1][1]%MOD   );
    }
    return 0;
}


快速幂模板：                                                                                                          #include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<stack>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define inf 0x7fffffff
#define pi acos(-1.0)
#define MOD 10000
struct matrix{
    ll n,m,i;
    ll data[99][99];
    void init_danwei(){
        for(i=0;i<n;i++){
            data[i][i]=1;
        }
    }
}a,b,c,d,t;

matrix multi(matrix &a,matrix &b){
    ll i,j,k;
    matrix temp;
    temp.n=a.n;
    temp.m=b.m;
    for(i=0;i<temp.n;i++){
        for(j=0;j<temp.m;j++){
            temp.data[i][j]=0;
        }
    }
    for(i=0;i<a.n;i++){
        for(k=0;k<a.m;k++){
            if(a.data[i][k]>0){
                for(j=0;j<b.m;j++){
                    temp.data[i][j]=(temp.data[i][j]+(a.data[i][k]*b.data[k][j])%MOD )%MOD;
                }
            }
        }
    }
    return temp;
}

matrix fast_mod(matrix a,ll n){
    matrix ans;
    ans.n=a.n;
    ans.m=a.m;
    memset(ans.data,0,sizeof(ans.data));
    ans.init_danwei();
    while(n>0){
        if(n&1)ans=multi(ans,a);
        a=multi(a,a);
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll n,m,i,j;
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF && n!=-1)
    {
        a.data[0][0]=a.data[0][1]=a.data[1][0]=1;
        a.data[1][1]=0;
        a.n=a.m=2;
        matrix ant=fast_mod(a,n);
        printf("%lld\n",ant.data[0][1]%MOD);
    }
    return 0;
}