数学规划-服务员指派

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#python #数学建模 #线性规划

该博客通过使用整数规划解决餐厅在不同时间段的全职和兼职服务员配置问题，以最小化成本。在不雇佣兼职服务员的情况下，解得最佳方案为雇用5名全职服务员，总成本为1100元；而考虑雇佣兼职服务员时，最佳配置为6名全职服务员和8名兼职服务员，总成本降低至560元。这展示了灵活调整员工类型和数量对于成本控制的重要性。

在这里插入图片描述
我们假设有x1x_1x1​个全时服务员在中午12:00-1:00点吃饭有x2x_2x2​个全时服务员在中午1:00-2:00吃饭，

我们假设从9:00,10:00,11:00,12:00,1:00开始工作的半时服务员分别有y1,y2,y3,y4,y5y_1,y_2,y_3,y_4,y_5y1​,y2​,y3​,y4​,y5​个

那么我么有目标与约束条件
Min100x1+100x2+40y1+40y2+40y3+40y4+40y5S.T.{y1+y2+y3+y4+y5<=3x1+x2+y1>=4x1+x2+y1+y2>=3x1+x2+y1+y2+y3>=4x2+y1+y2+y3+y4>=6x1+y2+y3+y4+y5>=5x1+x2+y3+y4+y5>=6x1+x2+y4+y5>=8x1+x2+y5>=8Min \quad 100x_1+100x_2+40y_1+40y_2+40y_3+40y_4+40y_5\\ S.T.\left\{ \begin{aligned} y_1+y_2+y_3+y_4+y_5<=3\\ x_1+x_2+y_1>=4\\ x_1+x_2+y_1+y_2>=3\\ x_1+x_2+y_1+y_2+y_3>=4\\ x_2+y_1+y_2+y_3+y_4>=6\\ x_1+y_2+y_3+y_4+y_5>=5\\ x_1+x_2+y_3+y_4+y_5>=6\\ x_1+x_2+y_4+y_5>=8\\ x_1+x_2+y_5>=8\\ \end{aligned} \right.Min100x1​+100x2​+40y1​+40y2​+40y3​+40y4​+40y5​S.T.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​y1​+y2​+y3​+y4​+y5​<=3x1​+x2​+y1​>=4x1​+x2​+y1​+y2​>=3x1​+x2​+y1​+y2​+y3​>=4x2​+y1​+y2​+y3​+y4​>=6x1​+y2​+y3​+y4​+y5​>=5x1​+x2​+y3​+y4​+y5​>=6x1​+x2​+y4​+y5​>=8x1​+x2​+y5​>=8​

import cvxpy as cp
from numpy import array
c=array([100.,100,40,40,40,40,40])  #定义目标向量
a=array([[0 , 0, 1, 1, 1, 1, 1],
         [-1,-1,-1, 0, 0, 0, 0],
         [-1,-1,-1,-1, 0, 0, 0],
         [-1,-1,-1,-1,-1, 0, 0],
         [0 ,-1,-1,-1,-1,-1, 0],
         [-1, 0,-1,-1,-1,-1,-1],
         [-1,-1, 0, 0,-1,-1,-1],
         [-1,-1, 0, 0, 0,-1,-1],
         [-1,-1, 0, 0, 0, 0,-1]
        ])  #定义约束矩阵
b=array([3,-4,-3,-4,-6,-5,-6,-8,-8])  #定义约束条件的右边向量
x=cp.Variable(7,integer=True)  #定义5个决策变量，True为整数规划，False为实数
obj=cp.Minimize(c*x)  #构造目标函数
cons=[a*x<=b, x>=0]    #构造约束条件
prob=cp.Problem(obj, cons)  #构建问题模型
prob.solve(solver='GLPK_MI',verbose =True)  #求解问题
print("最优值为:",prob.value)
print("最优解为：\n",x.value)

'''
运行结果:

===============================================================================
                                     CVXPY                                     
                                    v1.1.12                                    
===============================================================================
(CVXPY) Aug 12 04:06:55 PM: Your problem has 7 variables, 2 constraints, and 0 parameters.
(CVXPY) Aug 12 04:06:55 PM: It is compliant with the following grammars: DCP, DQCP
(CVXPY) Aug 12 04:06:55 PM: (If you need to solve this problem multiple times, but with different data, consider using parameters.)
(CVXPY) Aug 12 04:06:55 PM: CVXPY will first compile your problem; then, it will invoke a numerical solver to obtain a solution.
-------------------------------------------------------------------------------
                                  Compilation                                  
-------------------------------------------------------------------------------
(CVXPY) Aug 12 04:06:55 PM: Compiling problem (target solver=GLPK_MI).
(CVXPY) Aug 12 04:06:55 PM: Reduction chain: Dcp2Cone -> CvxAttr2Constr -> ConeMatrixStuffing -> GLPK_MI
(CVXPY) Aug 12 04:06:55 PM: Applying reduction Dcp2Cone
(CVXPY) Aug 12 04:06:55 PM: Applying reduction CvxAttr2Constr
(CVXPY) Aug 12 04:06:55 PM: Applying reduction ConeMatrixStuffing
(CVXPY) Aug 12 04:06:55 PM: Applying reduction GLPK_MI
(CVXPY) Aug 12 04:06:55 PM: Finished problem compilation (took 3.101e-02 seconds).
-------------------------------------------------------------------------------
                                Numerical solver                               
-------------------------------------------------------------------------------
(CVXPY) Aug 12 04:06:55 PM: Invoking solver GLPK_MI  to obtain a solution.
-------------------------------------------------------------------------------
                                    Summary                                    
-------------------------------------------------------------------------------
(CVXPY) Aug 12 04:06:55 PM: Problem status: optimal
(CVXPY) Aug 12 04:06:55 PM: Optimal value: 8.200e+02
(CVXPY) Aug 12 04:06:55 PM: Compilation took 3.101e-02 seconds
(CVXPY) Aug 12 04:06:55 PM: Solver (including time spent in interface) took 2.200e-02 seconds
最优值为: 820.0
最优解为：
 [2. 5. 2. 0. 0. 0. 1.]
'''

解不唯一，这个解最终解得x1,x2,y1⋯y5x_1,x_2,y_1\cdots y_5x1​,x2​,y1​⋯y5​分别为2. 5. 2. 0. 0. 0. 1.所花费费用为820元。
对于后两问我们只需要更改约束条件重新求解即可

'''
不雇佣半时工
'''
import cvxpy as cp
from numpy import array
import numpy as np
c=array([100.,100,40,40,40,40,40])  #定义目标向量
a=array([[0 , 0, 1, 1, 1, 1, 1],
         [-1,-1,-1, 0, 0, 0, 0],
         [-1,-1,-1,-1, 0, 0, 0],
         [-1,-1,-1,-1,-1, 0, 0],
         [0 ,-1,-1,-1,-1,-1, 0],
         [-1, 0,-1,-1,-1,-1,-1],
         [-1,-1, 0, 0,-1,-1,-1],
         [-1,-1, 0, 0, 0,-1,-1],
         [-1,-1, 0, 0, 0, 0,-1]
        ])  #定义约束矩阵
b=array([0,-4,-3,-4,-6,-5,-6,-8,-8])  #定义约束条件的右边向量
x=cp.Variable(7,integer=True)  #定义5个决策变量，True为整数规划，False为实数
obj=cp.Minimize(c*x)  #构造目标函数
cons=[a*x<=b, x>=0]    #构造约束条件
prob=cp.Problem(obj, cons)  #构建问题模型
prob.solve(solver='GLPK_MI',verbose =True)  #求解问题
print("最优值为:",prob.value)
print("最优解为：\n",x.value)

'''
===============================================================================
                                     CVXPY                                     
                                    v1.1.12                                    
===============================================================================
(CVXPY) Aug 12 04:12:12 PM: Your problem has 7 variables, 2 constraints, and 0 parameters.
(CVXPY) Aug 12 04:12:12 PM: It is compliant with the following grammars: DCP, DQCP
(CVXPY) Aug 12 04:12:12 PM: (If you need to solve this problem multiple times, but with different data, consider using parameters.)
(CVXPY) Aug 12 04:12:12 PM: CVXPY will first compile your problem; then, it will invoke a numerical solver to obtain a solution.
-------------------------------------------------------------------------------
                                  Compilation                                  
-------------------------------------------------------------------------------
(CVXPY) Aug 12 04:12:12 PM: Compiling problem (target solver=GLPK_MI).
(CVXPY) Aug 12 04:12:12 PM: Reduction chain: Dcp2Cone -> CvxAttr2Constr -> ConeMatrixStuffing -> GLPK_MI
(CVXPY) Aug 12 04:12:12 PM: Applying reduction Dcp2Cone
(CVXPY) Aug 12 04:12:12 PM: Applying reduction CvxAttr2Constr
(CVXPY) Aug 12 04:12:12 PM: Applying reduction ConeMatrixStuffing
(CVXPY) Aug 12 04:12:12 PM: Applying reduction GLPK_MI
(CVXPY) Aug 12 04:12:12 PM: Finished problem compilation (took 3.001e-02 seconds).
-------------------------------------------------------------------------------
                                Numerical solver                               
-------------------------------------------------------------------------------
(CVXPY) Aug 12 04:12:12 PM: Invoking solver GLPK_MI  to obtain a solution.
-------------------------------------------------------------------------------
                                    Summary                                    
-------------------------------------------------------------------------------
(CVXPY) Aug 12 04:12:12 PM: Problem status: optimal
(CVXPY) Aug 12 04:12:12 PM: Optimal value: 1.100e+03
(CVXPY) Aug 12 04:12:12 PM: Compilation took 3.001e-02 seconds
(CVXPY) Aug 12 04:12:12 PM: Solver (including time spent in interface) took 0.000e+00 seconds
最优值为: 1100.0
最优解为：
 [5. 6. 0. 0. 0. 0. 0.]
'''

'''雇佣半时工'''
import cvxpy as cp
from numpy import array
import numpy as np
c=array([100.,100,40,40,40,40,40])  #定义目标向量
a=array([[0 , 0, 1, 1, 1, 1, 1],
         [-1,-1,-1, 0, 0, 0, 0],
         [-1,-1,-1,-1, 0, 0, 0],
         [-1,-1,-1,-1,-1, 0, 0],
         [0 ,-1,-1,-1,-1,-1, 0],
         [-1, 0,-1,-1,-1,-1,-1],
         [-1,-1, 0, 0,-1,-1,-1],
         [-1,-1, 0, 0, 0,-1,-1],
         [-1,-1, 0, 0, 0, 0,-1]
        ])  #定义约束矩阵
b=array([np.inf,-4,-3,-4,-6,-5,-6,-8,-8])  #定义约束条件的右边向量
x=cp.Variable(7,integer=True)  #定义5个决策变量，True为整数规划，False为实数
obj=cp.Minimize(c*x)  #构造目标函数
cons=[a*x<=b, x>=0]    #构造约束条件
prob=cp.Problem(obj, cons)  #构建问题模型
prob.solve(solver='GLPK_MI',verbose =True)  #求解问题
print("最优值为:",prob.value)
print("最优解为：\n",x.value)

'''
===============================================================================
                                     CVXPY                                     
                                    v1.1.12                                    
===============================================================================
(CVXPY) Aug 12 04:14:02 PM: Your problem has 7 variables, 2 constraints, and 0 parameters.
(CVXPY) Aug 12 04:14:02 PM: It is compliant with the following grammars: DCP, DQCP
(CVXPY) Aug 12 04:14:02 PM: (If you need to solve this problem multiple times, but with different data, consider using parameters.)
(CVXPY) Aug 12 04:14:02 PM: CVXPY will first compile your problem; then, it will invoke a numerical solver to obtain a solution.
-------------------------------------------------------------------------------
                                  Compilation                                  
-------------------------------------------------------------------------------
(CVXPY) Aug 12 04:14:02 PM: Compiling problem (target solver=GLPK_MI).
(CVXPY) Aug 12 04:14:02 PM: Reduction chain: Dcp2Cone -> CvxAttr2Constr -> ConeMatrixStuffing -> GLPK_MI
(CVXPY) Aug 12 04:14:02 PM: Applying reduction Dcp2Cone
(CVXPY) Aug 12 04:14:02 PM: Applying reduction CvxAttr2Constr
(CVXPY) Aug 12 04:14:02 PM: Applying reduction ConeMatrixStuffing
(CVXPY) Aug 12 04:14:02 PM: Applying reduction GLPK_MI
(CVXPY) Aug 12 04:14:03 PM: Finished problem compilation (took 3.800e-02 seconds).
-------------------------------------------------------------------------------
                                Numerical solver                               
-------------------------------------------------------------------------------
(CVXPY) Aug 12 04:14:03 PM: Invoking solver GLPK_MI  to obtain a solution.
-------------------------------------------------------------------------------
                                    Summary                                    
-------------------------------------------------------------------------------
(CVXPY) Aug 12 04:14:03 PM: Problem status: optimal
(CVXPY) Aug 12 04:14:03 PM: Optimal value: 5.600e+02
(CVXPY) Aug 12 04:14:03 PM: Compilation took 3.800e-02 seconds
(CVXPY) Aug 12 04:14:03 PM: Solver (including time spent in interface) took 1.199e-02 seconds
最优值为: 560.0
最优解为：
 [0. 0. 6. 0. 0. 0. 8.]
'''
【数学建模】基于matlab GUI MMN多服务员排队系统【含Matlab源码 3995期】
订阅付费专栏Matlab（奶茶价版），可赠送奶茶价版付费专栏指定代码1份；
02-23 142
MMN多服务员排队系统 完整的代码，方可运行；可提供运行操作视频！适合小白！
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Kilig___的博客
10-06 6653
例1： 加工奶制品的生产计划 问题一:奶制品加工厂用牛奶生产A1A_1A1​,A2A_2A2​两种奶制品,1桶牛奶可以在甲类设备上用12 h加工成3 kg A1A_1A1​,或者在乙类设备上用8 h加工成4 kg A2A_2A2​,.根据市场需求,生产的A1A_1A1​,A2A_2A2​、全部能售出,且每千克A1A_1A1​，获利24元,每千克A2A_2A2​获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应,每天正式工人总的劳动时间为480 h,并且甲类设备每天至多能加工100 kg A1A_1A1​,乙类
初等模型练习题
Kilig___的博客
08-08 6161
一、初等模型1.1 牙膏包装1.1.1题目描述1.1.2 问题分析1.1.3 问题建设1.1.4 模型1.2 鲈鱼质量1.2.1 题目描述1.2.2 问题分析1.2.3 问题假设1.2.4 模型 1.1 牙膏包装 题目来源:《数学模型》（第五版）–姜启源、谢金星、叶俊 1.1.1题目描述 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如佳洁士牙膏120g装的每支10.80元，200g装的每支15.80元，二者单位质量的价格比是1.14:1。使用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价
数学规划-指派问题
Kilig___的博客
10-08 4970
我们可以假设xijx_{ij}xij​表示将第iii个人指派向第jjj个城市,timeijtime_{ij}timeij​表示第iii个人联系第jjj个人的时间，priceklprice_{kl}pricekl​表示第kkk个城市联系第lll个城市的单价。那么我们可以建立模型如下: Min∑i,j,k,l=1i,j,k,l=10xikxjl∗timeij∗priceklS.T.{∑i=1i=10xij==1∑j=1j=10xij==1xij={1,第i个人被指派向第j个城市0,第i个人未被指派向第j个城市.
Gruobi多目标规划
Kilig___的博客
10-11 4969
某公司3个工厂生产的产品供应给4个客户,各工厂生产量、各用户需求量 及从各工厂到各用户的单位产品的运输费用由下表给出． 用户 1 2 3 4 生产量 工厂 1 5 2 6 7 300 工厂 2 3 5 4 6 200 工厂 3 4 5 2 3 400 需求量 200 100 450 250 (1)如果只考虑总运费最小,制定所有产品的最优运输方案. (2)由于总生产量小于总需求量,公司经研究确定了调配方案的8项目标并规定了重要性的次序: 第一目标:用户4为重要客户,
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