动态规划：背包问题

01背包

使用滚动数组
首先依照动规五部曲分析：

1. 确定dp数组的定义
   在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

2. 一维dp数组的递推公式
   dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢？

3. dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。

4. dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）

5. 此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值。

得出推导公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
初始化：dp数组在推导的时候如果是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。

这样保证dp数组在递归公式的过程中取的是最大的价值，而不会被初始值覆盖。

// An highlighted block
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

背包是从大到小倒序遍历：为了保证物品i只被放入一次！
正序遍历会导致，那么物品0被重复加入多次！（不限个数的完全背包）

在求装满背包有几种方法的情况下，递推公式一般为：
（相关题型：力扣494）

dp[j] += dp[j - nums[i]];

完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 从小到大遍历背包容量，目的是可以多次添加物品
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

排列与组合的区别

在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

for (int i = 0; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j < weight.length; j++) {
                if (i >= weight[j]) dp[i] += dp[i - weight[j]];注意if判断
            }
        }

取最大值还是最小值视情况而定

如力扣322：link.
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。