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这是一篇用来纪念我始终记不住的矢量分析公式
矢量（向量）运算？不是很简单吗？内积外积三重混合积四重混合积还有吗？
有！！！
当引入了Nabla算子以后，世界都不一样了
从大一学数学分析，大二学数学物理方法和微分几何，大三学量子力学和电动力学
我几乎没记住过柱坐标系和球坐标系的nabla算子公式
或者说明天考试，今天背过了，明天考完了，下次要用到的时候又忘了。
想哭
不多吐槽了
下面开始正文
1 Nabla算子的相关理解
1.1 Nabla算子概念
定义nabla算子
∇
=
(
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
)
\nabla=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\\frac{\partial}{\partial y}\\\frac{\partial}{\partial z}\end{pmatrix}
∇=⎝⎛∂x∂∂y∂∂z∂⎠⎞
但这样的写法，是在直角坐标系下定义的，为了凸显基的作用，可以考虑写成
∇
=
(
x
^
y
^
z
^
)
(
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
)
=
x
^
∂
∂
x
+
y
^
∂
∂
y
+
z
^
∂
∂
z
\begin{aligned}\nabla&=\begin{pmatrix}\hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\\frac{\partial}{\partial y}\\\frac{\partial}{\partial z}\end{pmatrix}\\ &=\hat{x}\frac{\partial}{\partial x}+\hat{y}\frac{\partial}{\partial y}+\hat{z}\frac{\partial}{\partial z}\end{aligned}
∇=(x^y^z^)⎝⎛∂x∂∂y∂∂z∂⎠⎞=x^∂x∂+y^∂y∂+z^∂z∂
1.2 并矢
为后文行文方便，引入并矢概念，即对同一基下的两个矢量表示（注意，下标x,y,z和下标1,2,3是等效的，全文可能出现混用）
A
⃗
B
⃗
=
(
A
1
B
1
A
1
B
2
A
1
B
3
A
2
B
1
A
2
B
2
A
2
B
3
A
3
B
1
A
3
B
2
A
3
B
3
)
\vec A\vec B=\begin{pmatrix}A_1B_1&A_1B_2&A_1B_3\\A_2B_1&A_2B_2&A_2B_3\\A_3B_1&A_3B_2 & A_3B_3&\end{pmatrix}
AB=⎝⎛A1B1A2B1A3B1A1B2A2B2A3B2A1B3A2B3A3B3⎠⎞
例如，Nabla算子作用在矢量函数A上就可以写作
∇
A
⃗
=
(
x
^
y
^
z
^
)
(
∂
A
x
∂
x
∂
A
y
∂
x
∂
A
z
∂
x
∂
A
x
∂
y
∂
A
y
∂
y
∂
A
z
∂
y
∂
A
x
∂
z
∂
A
y
∂
x
∂
A
z
∂
z
)
\begin{aligned} \nabla\vec A&=\begin{pmatrix}\hat{x}&\hat{y}&\hat{z}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial A_x}{\partial x}&\frac{\partial A_y}{\partial x}&\frac{\partial A_z}{\partial x}\\\frac{\partial A_x}{\partial y}&\frac{\partial A_y}{\partial y}&\frac{\partial A_z}{\partial y}\\\frac{\partial A_x}{\partial z}&\frac{\partial A_y}{\partial x}&\frac{\partial A_z}{\partial z}\end{pmatrix} \end{aligned}
∇A=(x^y^z^)⎝⎜⎛∂x∂Ax∂y∂Ax∂z∂Ax∂x∂Ay∂y∂Ay∂x∂Ay∂x∂Az∂y∂Az∂z∂Az⎠⎟⎞
1.3 三维正交坐标系与Nabla算子
考虑新的正交三维坐标系的基矢为
(
e
^
1
e
^
2
e
^
3
)
\begin{pmatrix}\hat e_1&\hat e_2&\hat e_3\end{pmatrix}
(e^1e^2e^3)，选取的独立变数为
(
e
1
e
2
e
3
)
\begin{pmatrix}e_1&e_2&e_3\end{pmatrix}
(e1e2e3)。对于两个点
(
e
1
e
2
e
3
)
,
(
e
1
+
d
e
1
e
2
+
d
e
2
e
3
+
d
e
3
)
\begin{pmatrix}e_1\\e_2\\e_3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}e_1+{\rm d} e_1\\e_2+{\rm d}e_2\\e_3+{\rm d}e_3\end{pmatrix}
⎝⎛e1e2e3⎠⎞,⎝⎛e1+de1e2+de2e3+de3⎠⎞
定义
d
l
⃗
=
(
e
^
1
e
^
2
e
^
3
)
(
f
1
d
e
1
f
2
d
e
2
f
3
d
e
3
)
=
∑
i
e
^
i
f
i
d
e
i
{\rm d}\vec l=\begin{pmatrix}\hat e_1&\hat e_2&\hat e_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f_1{\rm d}e_1\\f_2{\rm d}e_2\\f_3{\rm d}e_3\end{pmatrix}=\sum_i\hat e_if_i{\rm d}e_i
dl=(e^1e^2e^3)⎝⎛f1de1f2de2f3de3⎠⎞=i∑e^ifidei
引入度量函数
f
i
(
e
1
,
e
2
,
e
3
)
f_i(e_1,e_2,e_3)
fi(e1,e2,e3)，考虑对一个标量函数
T
T
T
d
T
=
∑
i
∂
T
∂
e
i
d
e
i
{\rm d}T=\sum_i \frac{\partial T}{\partial e_i}{\rm d}e_i
dT=i∑∂ei∂Tdei
不妨将其写作Nabla算子作用的形式
d
T
=
∇
T
⋅
d
l
⃗
=
∑
i
(
∇
T
)
i
f
i
d
e
i
{\rm d}T=\nabla T\cdot{\rm d}\vec l=\sum_i (\nabla T)_if_i{\rm d}e_i
dT=∇T⋅dl=i∑(∇T)ifidei
与上式对比，可以得到
∇
T
=
∑
i
1
f
i
∂
T
∂
e
i
\nabla T=\sum_i \frac{1}{f_i}\frac{\partial T}{\partial e_i}
∇T=i∑fi1∂ei∂T
则可以得到Nabla算子在其他坐标系中的表示
∇
=
∑
i
e
^
i
1
f
i
∂
∂
e
i
\nabla =\sum_i \hat e_i\frac{1}{f_i}\frac{\partial}{\partial e_i}
∇=i∑e^ifi1∂ei∂
那么接下来需要解决的问题就是，如何找到合适的度量函数？
度量张量是一个适用范围更广的讨论
1.4 度量张量
黎曼几何里面用来衡量度量空间中矩阵、面积及角度的二阶张量。
引入度量张量是必须考虑到，坐标系无论怎么选取，都不能影响到该情况下计量的结果。
度量张量表示为
d
s
2
=
∑
i
j
g
i
j
d
e
i
d
e
j
{\rm d}s^2=\sum_{ij}g_{ij}{\rm d}e_i{\rm d}e_j
ds2=ij∑gijdeidej
在此定义下，
a
a
a点到
b
b
b点的弧线长度定义为
L
=
∫
a
b
∑
i
j
g
i
j
d
x
i
d
t
d
x
j
d
t
d
t
L=\int_a^b \sqrt{\sum_{ij}g_{ij}\frac{{\rm d}x_i}{{\rm d}t}\frac{{\rm d}x_j}{{\rm d}t}}{\rm d}t
L=∫abij∑gijdtdxidtdxjdt
若存在一个
R
n
R^n
Rn到
R
n
R^n
Rn的微分同胚
f
f
f，则
G
=
J
T
J
G=J^TJ
G=JTJ
其中
J
J
J为雅可比矩阵
具体实例
- 平面极坐标系，独立变数
ρ
,
ϕ
\rho,\phi
ρ,ϕ
{ x = ρ cos ϕ y = ρ sin ϕ \begin{cases} x&=\rho\cos\phi\\ y&=\rho\sin\phi \end{cases} {xy=ρcosϕ=ρsinϕ
雅可比矩阵
J = ∂ ( x , y ) ∂ ( ρ , ϕ ) = ( cos θ − ρ sin θ sin θ ρ cos θ ) J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(\rho,\phi)}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\rho\sin\theta\\\sin\theta&\rho\cos\theta\end{pmatrix} J=∂(ρ,ϕ)∂(x,y)=(cosθsinθ−ρsinθρcosθ)
度量张量
G = J T J = ( cos θ sin θ − ρ sin θ ρ cos θ ) ( cos θ − ρ sin θ sin θ ρ cos θ ) = ( 1 0 0 ρ 2 ) G=J^TJ=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\rho\sin\theta&\rho\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos\theta&-\rho\sin\theta\\\sin\theta&\rho\cos\theta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&\rho^2\end{pmatrix} G=JTJ=(cosθ−ρsinθsinθρcosθ)(cosθsinθ−ρsinθρcosθ)=(100ρ2)
则
f 1 = 1 , f 2 = ρ f_1=1,f_2=\rho f1=1,f2=ρ - 对于空间柱坐标系
ρ
,
ϕ
,
z
\rho,\phi,z
ρ,ϕ,z，同理可以得到
f 1 = 1 , f 2 = ρ , f 3 = 1 f_1=1,f_2=\rho,f_3=1 f1=1,f2=ρ,f3=1 - 对于空间球坐标系
r
,
θ
,
ϕ
r,\theta,\phi
r,θ,ϕ，同理可以得到
f 1 = 1 , f 2 = r , f 3 = r sin θ f_1=1,f_2=r,f_3=r\sin\theta f1=1,f2=r,f3=rsinθ
1.5 Nabla算子和散度
设有
A
⃗
(
e
1
,
e
2
,
e
3
)
\vec A(e_1,e_2,e_3)
A(e1,e2,e3)，而体积元
d
τ
=
(
∏
i
f
i
(
d
e
i
)
)
{\rm d}\tau=(\prod_i f_i({\rm d}e_i))
dτ=(i∏fi(dei))
例如对于体积元，在
e
^
1
\hat e_1
e^1方向上的前表面（指向方向为
−
e
^
1
-\hat e_1
−e^1），有
d
a
⃗
=
−
e
^
1
(
f
2
f
3
)
d
e
2
d
e
3
{\rm d}\vec a=-\hat e_1(f_2f_3){\rm d}e_2{\rm d}e_3
da=−e^1(f2f3)de2de3
该有向面积的指向可以通过外微分形式来判断
则
A
⃗
\vec A
A在该方向上的散度满足
A
⃗
⋅
d
a
⃗
=
F
(
e
1
+
d
e
1
)
−
F
(
e
1
)
=
∂
(
f
2
f
3
A
1
)
∂
e
1
d
e
1
\vec A\cdot{\rm d}\vec a=F(e_1+{\rm d}e_1)-F(e_1)=\frac{\partial (f_2f_3A_1)}{\partial e_1}{\rm d}e_1
A⋅da=F(e1+de1)−F(e1)=∂e1∂(f2f3A1)de1
则整个体积元在该方向上贡献
∂
(
f
2
f
3
A
1
)
∂
e
1
d
e
1
d
e
2
d
e
3
=
1
∏
i
f
i
∂
(
f
2
f
3
A
1
)
∂
e
1
d
τ
\frac{\partial (f_2f_3A_1)}{\partial e_1}{\rm d}e_1{\rm d}e_2{\rm d}e_3=\frac{1}{\prod_i f_i}\frac{\partial (f_2f_3A_1)}{\partial e_1}{\rm d}\tau
∂e1∂(f2f3A1)de1de2de3=∏ifi1∂e1∂(f2f3A1)dτ
根据Stokes公式，取极限后
∇
⋅
A
⃗
=
1
∏
i
f
i
(
∑
i
∂
(
f
i
+
1
f
i
+
2
A
i
)
∂
e
i
)
\nabla\cdot\vec A=\frac{1}{\prod_i f_i} \left( \sum_i \frac{\partial (f_{i+1}f_{i+2}A_i)}{\partial e_i}\right)
∇⋅A=∏ifi1(i∑∂ei∂(fi+1fi+2Ai))
这里的
i
+
1
,
i
+
2
i+1,i+2
i+1,i+2可以理解为下标的循环。
则立即可以得到
∇
⋅
(
∇
T
)
=
1
∏
i
f
i
(
∑
i
∂
∂
e
i
f
i
+
1
f
i
+
2
f
i
∂
T
∂
e
i
)
\nabla\cdot(\nabla T)=\frac{1}{\prod_i f_i} \left( \sum_i \frac{\partial }{\partial e_i}\frac{f_{i+1}f_{i+2}}{f_i}\frac{\partial T}{\partial e_i}\right)
∇⋅(∇T)=∏ifi1(i∑∂ei∂fifi+1fi+2∂ei∂T)
1.5 Nabla算子和旋度
考虑在
e
3
e_3
e3平面上，有向面积元
d
a
⃗
=
e
^
3
(
f
1
f
2
)
d
e
1
d
e
2
{\rm d}\vec a=\hat e_3(f_1f_2){\rm d}e_1{\rm d}e_2
da=e^3(f1f2)de1de2
对于沿着坐标网格的曲线
e
1
e_1
e1线积分，有
[
−
(
f
1
A
1
)
∣
e
2
+
d
e
2
+
(
f
1
A
1
)
∣
e
2
]
d
e
1
=
−
[
∂
∂
e
2
(
f
1
A
1
)
]
d
e
1
d
e
2
[-(f_1A_1)|_{e_2+{\rm d}e_2}+(f_1A_1)|_{e_2}]{\rm d}e_1=-\left[\frac{\partial}{\partial e_2}(f_1A_1)\right]{\rm d}e_1{\rm d}e_2
[−(f1A1)∣e2+de2+(f1A1)∣e2]de1=−[∂e2∂(f1A1)]de1de2
同理对于另一对
e
2
e_2
e2线，则贡献为
[
∂
∂
e
1
(
f
2
A
2
)
]
d
e
1
d
e
2
\left[\frac{\partial}{\partial e_1}(f_2A_2)\right]{\rm d}e_1{\rm d}e_2
[∂e1∂(f2A2)]de1de2
则按照格林公式计算，最终结果为
∇
×
A
⃗
=
∑
i
e
^
i
f
i
+
1
f
i
+
2
[
∂
∂
e
i
+
1
(
f
i
+
2
A
i
+
2
)
−
∂
∂
e
i
+
2
(
f
i
+
1
A
i
+
1
)
]
\nabla\times\vec A=\sum_i\frac{\hat e_i}{f_{i+1}f_{i+2}}\left[\frac{\partial}{\partial e_{i+1}}(f_{i+2}A_{i+2})-\frac{\partial}{\partial e_{i+2}}(f_{i+1}A_{i+1})\right]
∇×A=i∑fi+1fi+2e^i[∂ei+1∂(fi+2Ai+2)−∂ei+2∂(fi+1Ai+1)]
2 矢量分析公式
2.1 不满足交换律的展开
A
⃗
,
B
⃗
,
C
⃗
\vec A,\vec B,\vec C
A,B,C表示三个矢量，在相乘不可以交换顺序和互相结合的情况下，
[
A
⃗
×
(
B
⃗
×
C
⃗
)
]
z
=
[
A
x
(
B
z
C
x
)
+
A
y
(
B
z
C
y
)
+
A
z
(
B
z
C
z
)
]
−
[
A
x
(
B
x
C
z
)
+
A
y
(
B
y
C
z
)
+
A
z
(
B
z
C
z
)
]
[
(
A
⃗
×
B
⃗
)
×
C
⃗
]
z
=
[
(
A
x
B
z
)
C
x
+
(
A
y
B
z
)
C
y
+
(
A
z
B
z
)
C
z
]
−
[
(
A
z
B
x
)
C
x
+
(
A
z
B
y
)
C
y
+
(
A
z
B
z
)
C
z
]
[\vec A\times(\vec B\times\vec C)]_z=[A_x(B_zC_x)+A_y(B_zC_y)+A_z(B_zC_z)]-[A_x(B_xC_z)+A_y(B_yC_z)+A_z(B_zC_z)]\\ [(\vec A\times\vec B)\times\vec C]_z=[(A_xB_z)C_x+(A_yB_z)C_y+(A_zB_z)C_z]-[(A_zB_x)C_x+(A_zB_y)C_y+(A_zB_z)C_z]
[A×(B×C)]z=[Ax(BzCx)+Ay(BzCy)+Az(BzCz)]−[Ax(BxCz)+Ay(ByCz)+Az(BzCz)][(A×B)×C]z=[(AxBz)Cx+(AyBz)Cy+(AzBz)Cz]−[(AzBx)Cx+(AzBy)Cy+(AzBz)Cz]
当可以交换顺序和乘法结合时，即为常见的展开
A
⃗
×
(
B
⃗
×
C
⃗
)
=
(
A
⃗
⋅
C
⃗
)
B
⃗
−
(
A
⃗
⋅
B
⃗
)
C
⃗
(
A
⃗
×
B
⃗
)
×
C
⃗
=
(
A
⃗
⋅
C
⃗
)
B
⃗
−
(
C
⃗
⋅
B
⃗
)
A
⃗
\vec A\times(\vec B\times\vec C)=(\vec A\cdot\vec C)\vec B-(\vec A\cdot\vec B)\vec C \\ (\vec A\times\vec B)\times\vec C=(\vec A\cdot\vec C)\vec B-(\vec C\cdot\vec B)\vec A
A×(B×C)=(A⋅C)B−(A⋅B)C(A×B)×C=(A⋅C)B−(C⋅B)A
2.2 nabla算子的运算规则
nabla算子需要在注意微分运算的同时，注意到不可以随意交换分量之间的顺序的问题
（放到量子力学里面，就是算符对易与否的问题）
（但这里的公式，已经将需要作用的函数写上了；量子力学中的算符运算，一般省略后面的作用函数不写，所以结果有微妙的区别）
以下公式中，
c
c
c表示任意常数，
α
,
β
\alpha,\beta
α,β表示一标量函数，而
A
⃗
,
B
⃗
,
C
⃗
\vec A,\vec B,\vec C
A,B,C表示一矢量函数
- 含常量组，非常简单
∇ ( c α ) = c ∇ α ∇ ⋅ ( c A ⃗ ) = c ( ∇ ⋅ A ⃗ ) ∇ × ( c A ⃗ ) = c ( ∇ × A ⃗ ) \begin{aligned} \nabla(c\alpha)&=c\nabla\alpha\\ \nabla\cdot(c\vec A)&=c(\nabla\cdot\vec A)\\ \nabla\times(c\vec A)&=c(\nabla\times\vec A)\\ \end{aligned} ∇(cα)∇⋅(cA)∇×(cA)=c∇α=c(∇⋅A)=c(∇×A) - 梯度组
∇ ( α β ) = α ( ∇ β ) + ( ∇ α ) β ∇ ( A ⃗ ⋅ B ⃗ ) = A ⃗ × ( ∇ × B ⃗ ) + B ⃗ × ( ∇ × A ⃗ ) + ( A ⃗ ⋅ ∇ ) B ⃗ + ( B ⃗ ⋅ ∇ ) A ⃗ ， 在 这 里 要 求 交 换 ∇ ( ∇ ⋅ A ⃗ ) = 不 展 开 计 算 \begin{aligned} \nabla(\alpha\beta)&=\alpha(\nabla\beta)+(\nabla\alpha)\beta\\ \nabla(\vec A\cdot\vec B)&=\vec A\times(\nabla\times \vec B)+\vec B\times(\nabla\times \vec A)+(\vec A\cdot\nabla)\vec B+(\vec B\cdot\nabla)\vec A，在这里要求交换\\ \nabla(\nabla\cdot\vec A)&=不展开计算\\ \end{aligned} ∇(αβ)∇(A⋅B)∇(∇⋅A)=α(∇β)+(∇α)β=A×(∇×B)+B×(∇×A)+(A⋅∇)B+(B⋅∇)A，在这里要求交换=不展开计算 - 散度组
∇ ⋅ ( α A ⃗ ) = ( ∇ α ) ⋅ A ⃗ + α ( ∇ ⋅ A ⃗ ) ∇ ⋅ ( A ⃗ × B ⃗ ) = ( ∇ × A ⃗ ) ⋅ B ⃗ − A ⃗ ⋅ ( ∇ × B ⃗ ) ∇ ⋅ ( ∇ α ) = Δ α ∇ ⋅ ( ∇ × A ⃗ ) = 0 \begin{aligned} \nabla\cdot(\alpha\vec A)&=(\nabla\alpha)\cdot\vec A+\alpha(\nabla\cdot\vec A)\\ \nabla\cdot(\vec A\times\vec B)&=(\nabla\times\vec A)\cdot\vec B-\vec A\cdot(\nabla\times\vec B)\\ \nabla\cdot(\nabla\alpha)&=\Delta\alpha\\ \nabla\cdot(\nabla\times\vec A)&=0\\ \end{aligned} ∇⋅(αA)∇⋅(A×B)∇⋅(∇α)∇⋅(∇×A)=(∇α)⋅A+α(∇⋅A)=(∇×A)⋅B−A⋅(∇×B)=Δα=0 - 旋度组
∇ × ( α A ⃗ ) = ( ∇ α ) × A ⃗ + α ( ∇ × A ⃗ ) ∇ × ( A ⃗ × B ⃗ ) = ( B ⃗ ⋅ ∇ ) A ⃗ + A ⃗ ( ∇ ⋅ B ⃗ ) − ( A ⃗ ⋅ ∇ ) B ⃗ − B ⃗ ( ∇ ⋅ A ⃗ ) ， 同 样 要 求 交 换 ∇ × ( ∇ α ) = 0 ∇ × ( ∇ × A ⃗ ) = 0 \begin{aligned} \nabla\times(\alpha\vec A)&=(\nabla\alpha)\times\vec A+\alpha(\nabla\times\vec A)\\ \nabla\times(\vec A\times\vec B)&=(\vec B\cdot\nabla)\vec A+\vec A(\nabla\cdot\vec B)-(\vec A\cdot\nabla)\vec B-\vec B(\nabla\cdot\vec A)，同样要求交换\\ \nabla\times(\nabla\alpha)&=0\\ \nabla\times(\nabla\times\vec A)&=0\\ \end{aligned} ∇×(αA)∇×(A×B)∇×(∇α)∇×(∇×A)=(∇α)×A+α(∇×A)=(B⋅∇)A+A(∇⋅B)−(A⋅∇)B−B(∇⋅A)，同样要求交换=0=0
Reference
David J. Griffiths, Introduction to electrodynamics[M].1999
282
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