今日总结2024/3/25-线段树

今日学习了树状数组的线段树

线段树完全包含树状数组,树状数组相比线段树代码短，常数小

数状数组

树状数组一般用O(logn)的复杂度快速求前缀和或者给某个位置上的数加上一个数

不考虑时间复杂度的情况下可以用前缀和，但是往往会超时，此时选用树状数组

支持单点修改和区间查询,配合差分数组可以实现区间修改和单点查询,区间修改和区间查询

前缀和一般初始化后就不能修改了

树状数组初始化为奇数位为原数组内数据，偶数位为对应数组一段连续的数的和

c[x]偶数位存的是(x-lowbit(x),x]区间的和

因此求A的所有和可以用

int res=0;
for(i=x;i>0;i-=lowbit(x))
res+=c[i];
return res;

让A中某个数加上V要做的修改只有该点所链接的父节点

for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(x))
c[i]+=v;

Acwing 1264.动态求连续区间和

因为数据量n和m上限都是1e5,用前缀和大概复杂度是O(n*m)会超时

且是该数组维护的是动态的一个状态，每次可能会修改可能会查询区间，差分数组只适用于多次修改后一次查询,因此要用树状数组解决

#include <iostream>
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N=1e5+7;
int tr[N],n,m;

void add(int x,int a){
    for(int i=x;i<=n;i+=i&-i) tr[i]+=a;
}

int query(int x){
    int res=0;
    for(int i=x;i;i-=i&-i) res+=tr[i];
    return res;
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int tmp;
        cin>>tmp;
        add(i,tmp);//插入树状数组
    }
    while(m--){
    int k,a,b;
    cin>>k>>a>>b;
    if(k==0){
        cout<<query(b)-query(a-1)<<endl;
    }else{
        add(a,b);
    }
    }
    return 0;
}

树状数组下标一定要从1开始

线段树

线段树也同样支持单点修改和区间查询复杂度都是O(logn)

同时也能区间修改和区间查询

单点修改是一个递归和回溯修改的过程

区间查询其实是通过递归划分区间的过程,最大复杂度4logn

一般包含四个函数

1.pushup 用子节点信息更新当前节点信息

void pushup(int u){
	tr[u].sum=tr[u<<1].sum+tr[u<<i|1].sum;//用子节点更新当前节点的和
}

2.build 在一段区间上初始化线段树

void build(int u,int l,int r){//根节点，左边界，右边界
	if(l==r) tr[u]={l,r,w[r]};//直接就是单个点的值
	else{
		tr[u]={l,r};//刚开始给根结点赋初值
		int mid=l+r>>1;//划分区间
		build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);//递归处理左右区间\
		pushup(u);
	}
}

3.modify 修改

void modify(int u,int x,int v){//根节点,待插入区间的点位置,插入的值
	if(tr[u].l==tr[u].r) tr[u].sum+=v;
	else{
		int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
		if(x<=mid) modify(u<<1,x,v);
		else modify(u<<1|1,x,v);
		pushup(u);
	}
}

4.query 查询操作

int query(int u,int l,int r){
	if(l<=tr[u].l&&tr[u].r<=r) return tr[u].sum;//当前区间被查询区间包含
	int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
	int sum=0;
	if(l<=mid) sum=query(u<<1,l,r);
	if(r>mid) sum+=query(u<<1|1,l,r);
	return sum; 
}

这玩意就是AK,能火力压制那种，该题对应线段树解法

#include <iostream>
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N=1e5+7;
int a[N];
typedef struct Node{
    int l,r,sum;
}xd;
int n,m;//线段树结点数最多不超过4*N
xd tr[4*N];

void pushup(int u){
    tr[u].sum=tr[u<<1].sum+tr[u<<1|1].sum;//用子结点更新根节点sum
}

void build(int u,int l,int r){
    if(l==r) tr[u]={l,r,a[r]};
    else{
        tr[u]={l,r};
        int mid=l+r>>1;
        build(u<<1,l,mid),build(u<<1|1,mid+1,r);
        pushup(u);
    }
}

void modify(int u,int x,int v){
    if(tr[u].l==tr[u].r) tr[u].sum+=v;
    else{
        int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1;
        if(x<=mid) modify(u<<1,x,v);//左边找
        else modify(u<<1|1,x,v);//右边找
        pushup(u);//最后要根据修改值更新根结点！！！！
    }
}

int query(int u,int l,int r){
    if(l<=tr[u].l&&tr[u].r<=r) return tr[u].sum;//找到点
    int mid=tr[u].l+tr[u].r>>1,sum=0;//注意这边是根据当前节点的区间划分进入左右子树！！！
    if(l<=mid) sum=query(u<<1,l,r);//递归求左
    if(r>mid) sum+=query(u<<1|1,l,r);//递归求右
    return sum;
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];//区间为1-n,下标对应方便处理
    build(1,1,n);//区间为1-n
    while(m--){
        int op,a,b;cin>>op>>a>>b;
        if(op==1){
            modify(1,a,b);//位置a加b
        }else{
            cout<<query(1,a,b)<<endl;
        }
    }
}