今日总结2024/3/19

今日学习了DP的完全背包问题,相信科学的力量

完全背包

根据YXC-DP分析法

状态表示的方法表示f(i,j)，选所有前i个物品，体积不超过j的方案数

属性为最大值

而将集合划分则区别于01背包，所有物品可以选无限个，所以每个物品可以选到体积上限

当前第i个物品可以选0个(也就是不选),选1-m个(达到上限)就是当前集合的划分

选第i个物品也就是要加上Wi，可以从选i-1个物品且体积小于Vi的方案数推上来

f(i,j)就是max(不选第i个,第i个选1-m个)的划分，f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i-1,j-Vi)+Wi,f(i-1,j-2Vi)+2Wi......)

1-m需要取max(f(i-1,j-kVi)+Wi)枚举1-m个取最大值,那么根据之前的01背包，需要三重循环了，就会导致超时

此时需要进行优化,我们观察到max(f(i-1,j),f(i-1,j-Vi)+Wi,f(i-1,j-2Vi)+2Wi......)都减去一个Vi

max(f(i-1,j-Vi),f(i-1,j-2Vi)+Wi,f(i-1,j-3Vi)+2Wi......)与上述只差了一个Wi

且该式代表f(i,j-Vi)所以，我们f(i,j)通过规律可以优化为f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i,j-Vi)+Wi)

所以完全背包和01背包状态计算方程只有一处不同

01背包 f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1,j-Vi]+Wi)

完全背包 f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i,j-Vi]+Wi)

#include <iostream>
using namespace std;
const int N=1e3+5;
long long dp[N][N];
int v[N],W[N];

int main(){
    int n,V;
    cin>>n>>V;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>v[i]>>W[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=0;j<=V;j++){
        dp[i][j]=dp[i-1][j];
        if(j>=v[i])
        dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+W[i]);
    }
    cout<<dp[n][V];
    return 0;
}