理论基础
1、什么是动态规划?
动态规划,英文:Dynamic Programming,简称DP,如果某一问题有很多重叠子问题,使用动态规划是最有效的。
动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的,这一点就区分于贪心,贪心没有状态推导,而是从局部直接选最优的
2、动态规划的解题步骤
对于动态规划问题,我将拆解为如下五步曲,这五步都搞清楚了,才能说把动态规划真的掌握了!
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
一些情况是递推公式决定了dp数组要如何初始化!
3、动态规划应该如何debug?
找问题的最好方式就是把dp数组打印出来,看看究竟是不是按照自己思路推导的!
做动规的题目,写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍,心中有数,确定最后推出的是想要的结果。
然后再写代码,如果代码没通过就打印dp数组,看看是不是和自己预先推导的哪里不一样。
如果打印出来和自己预先模拟推导是一样的,那么就是自己的递归公式、初始化或者遍历顺序有问题了。
如果和自己预先模拟推导的不一样,那么就是代码实现细节有问题。
这道题目我举例推导状态转移公式了么?
我打印dp数组的日志了么?
打印出来了dp数组和我想的一样么?
如果这灵魂三问自己都做到了,基本上这道题目也就解决了,或者更清晰的知道自己究竟是哪一点不明白,是状态转移不明白,还是实现代码不知道该怎么写,还是不理解遍历dp数组的顺序。
509. 斐波那契数
详细的分析写在了注释里面,对自己学习还需要去代码随想录网站上仔细看。
还可以优化只维护3个变量完成实现,空间复杂度更小。
class Solution {
public:
int fib(int n) {
// 动态规划五部曲
// 1、确定dp[i]的含义:第i个斐波那契数的值
// 2、确定递归公式 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
// 3、dp数组初始化:dp[0] = 0 dp[1] = 1
// 4、遍历顺序: 从前往后
// 5、打印dp数组验证
if (n == 0 || n == 1) return n;
vector<int> dp(n+1);
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}
return dp[n];
}
};
70. 爬楼梯
-
确定dp数组以及下标的含义
dp[i]: 爬到第i层楼梯,有dp[i]种方法 -
确定递推公式
如何可以推出dp[i]呢?
从dp[i]的定义可以看出,dp[i] 可以有两个方向推出来。
首先是dp[i - 1],上i-1层楼梯,有dp[i - 1]种方法,那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。
还有就是dp[i - 2],上i-2层楼梯,有dp[i - 2]种方法,那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。
那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和!
所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。
在推导dp[i]的时候,一定要时刻想着dp[i]的定义,否则容易跑偏。
这体现出确定dp数组以及下标的含义的重要性! -
dp数组如何初始化 dp[1] = 1,dp[2] = 2
题目中说了n是一个正整数,题目根本就没说n有为0的情况。
所以本题其实就不应该讨论dp[0]的初始化! -
举例推导dp数组
举例当n为5的时候,dp table(dp数组)应该是这样的
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
// 1、确定dp数组的含义:爬楼梯的方法
// 2、确定地推公式: dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
// 3、dp数组初始化:dp[1] = 1 dp[2] = 2
// 4、遍历顺序:从小到大
if (n == 1) return n;
int dp[3];
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for (int i = 3; i <=n; i++) {
int sum = dp[1] + dp[2];
dp[1] = dp[2];
dp[2] = sum;
}
return dp[2];
}
};
746. 使用最小花费爬楼梯
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
int dp0 = 0;
int dp1 = 0;
for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
int dpi = min(dp1 + cost[i - 1], dp0 + cost[i - 2]);
dp0 = dp1; // 记录一下前两位
dp1 = dpi;
}
return dp1;
}
};