2000*D. CGCDSSQ（ST表+二分）

陈进士学习

已于 2024-02-20 10:34:13 修改

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分类专栏： codeforces 文章标签：算法 c++ 数据结构开发语言 ST表二分

于 2024-02-20 10:33:27 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/JungleZRD/article/details/136183920

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文章讲述了在一个区间范围内，针对多次查询最大公约数GCD的问题，通过构建st表进行空间优化，利用二分查找法预处理并离线存储查询结果，以高效解决大规模查询的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在这里插入图片描述

题意

给你一个区间，然后多次询问，每次给出一个 x ，询问有多少个区间 $(l, r)$ 使得 $g c d (l, l + 1, l + 2, ..., r) = x$

解析

因为查询次数过大，并且 $g c d$ 属于可重复贡献问题，可以用st表维护。

我们可以发现，对于某个区间，当其右侧添加新的数的时候，区间的最大公约数会不变或者减少。
比如，对于原区间的最大公约数 $x$ ，当添加右端点时 $x, x, x, x, x, a, a, a, b, b, c, c$ 则 $(a\leq b\leq c)$

所以我们可以遍历区间，对于每个点固定为左端点，然后二分查找其右端点，然后累计区间长度作为答案

小优化：因为只有查询没有修改，所以可以离线保存所有查询值，只保存需要查询的 $g c d$ 值

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define inf 0x3f3f3f3f
const int N=1e5+5;
int n,q;
int a[N],f[N][21],minn[N][21];
map<int,int>mp;
int gcd(int a,int b){
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
void init(){	//ST表O(nlogn)初始化 
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=a[i];
	for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){
		for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
			f[i][j]=gcd(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
		}
	}
}
inline int query(int l,int r){	//ST表O(1)查询 
	int k=log2(r-l+1);
	return gcd(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);
}
void solve(){
	cin>>n;	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	init();
	cin>>q;
	vector<int>p;
	while(q--){		//离线存储查询 
		int x;
		cin>>x;
		p.push_back(x);
		mp[x]=0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){	//二分预处理 gcd(x,y)=d 的区间个数 
		int pos=i;
		while(pos<=n){
			int l=pos,r=n,d=query(i,pos);
			while(l<r){
				int mid=l+r+1>>1;
				if(query(i,mid)>=d) l=mid;
				else r=mid-1;
			}
			if(mp.count(d)) mp[d]+=l-pos+1;	//存在查询才保存 
			pos=l+1;
		}
	}
	for(auto it:p){
		cout<<mp[it]<<endl;
	}
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	cout.tie(nullptr);
	int t=1;
//	cin>>t;
	while(t--) solve();
	return 0;
}