矩阵快速幂

说道矩阵快速幂先要了解什么是矩阵什么是矩阵乘法、这更有利于我们理解矩阵快速幂

矩阵快速幂可以把一个 O(n)的效率提高 变成O(log(n))的效率其关键核心在于矩阵乘法的特征

比如A*A*A*A  =>  (A*A)*(A*A)  很简单的就可以想到 B = A*A    原来的式子就会等去  B*B

这样一来我们可以先计算出 B 然后计算出B*B 答案就出来了 效率明显降低

接下来以POJ一道简单的题目为例 、并贴上我的代码

题目连接： http://poj.org/problem?id=3070

Fibonacci

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Description

In the Fibonacci integer sequence, F₀ = 0, F₁ = 1, and F_n = F_{n − 1} + F_{n − 2} for n ≥ 2. For example, the first ten terms of the Fibonacci sequence are:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

An alternative formula for the Fibonacci sequence is

.

Given an integer n, your goal is to compute the last 4 digits of F_n.

Input

The input test file will contain multiple test cases. Each test case consists of a single line containing n (where 0 ≤ n ≤ 1,000,000,000). The end-of-file is denoted by a single line containing the number −1.

Output

For each test case, print the last four digits of F_n. If the last four digits of F_n are all zeros, print ‘0’; otherwise, omit any leading zeros (i.e., print F_n mod 10000).

Sample Input

0
9
999999999
1000000000
-1

Sample Output

0
34
626
6875

Hint

As a reminder, matrix multiplication is associative, and the product of two 2 × 2 matrices is given by

.

Also, note that raising any 2 × 2 matrix to the 0th power gives the identity matrix:

.

个人认为矩阵快速幂的代码在理解之后写起来会非常容易 ， 关键是求新矩阵的过程 (三个for)，以及快速求值的方法(用到 & 和 >>这两个运算符）

以下是我的AC代码

#include<iostream>
#define MOD 10000
using namespace std;

int a[2][2] ={1};
struct matrix
{
     long long m[2][2];
};

matrix mul(matrix a , matrix b)
{
     matrix res = {0,0,0,0};
     for(int i = 0 ; i < 2 ; i++)
     {
          for(int j = 0 ; j < 2 ; j++)
          {
               for(int k = 0 ; k < 2 ; k++)
                    res.m[i][j] = (res.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j]) % MOD;
          }
     }
     return res;
}
int main()
{
     int n;
     while(cin>>n && n != -1)
     {
          matrix ans ={1,1,1,0}, s = ans;
          while(n)
          {
               if(n&1)
                    ans = mul(ans,s);
               n >>= 1;
               s = mul(s,s);
          }
          cout << ans.m[1][1] << endl;
     }
     return 0;
}

矩阵的题目难点在于如何构造一个矩阵

下面附上一个3行3列的矩阵乘法模板 大家通过调试理解一下矩阵快速幂

#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;


int N;


struct matrix
{
       int a[3][3];
}origin,res;




matrix multiply(matrix x,matrix y)
{
       matrix temp;
       memset(temp.a,0,sizeof(temp.a));
       for(int i=0;i<3;i++)
       {
               for(int j=0;j<3;j++)
               {
                       for(int k=0;k<3;k++)
                       {
                               temp.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];
                       }
               }
       }
       return temp;
}


void init()
{
     printf("随机数组如下:\n");
     for(int i=0;i<3;i++)
     {
             for(int j=0;j<3;j++)
             {
                     origin.a[i][j]=rand()%10;
                     printf("%8d",origin.a[i][j]);
             }
             printf("\n");
     }
     printf("\n");
     memset(res.a,0,sizeof(res.a));
     res.a[0][0]=res.a[1][1]=res.a[2][2]=1;                  //将res.a初始化为单位矩阵
}


void calc(int n)
{
     while(n)
     {
             if(n&1)
                    res = multiply(res,origin);
             n>>= 1;
             origin=multiply(origin,origin);
     }
     printf("%d次幂结果如下：\n",n);
     for(int i=0;i<3;i++)
     {
             for(int j=0;j<3;j++)
                     printf("%8d",res.a[i][j]);
             printf("\n");
     }
     printf("\n");
}
int main()
{
    while(cin>>N)
    {
            init();
            calc(N);
    }
    return 0;
}