#4507. Independent set 1

题目描述

求无向图的所有导出子图的最大独立集大小的和.

导出子图：若图 $G^{\prime }$ 是图 $G$ 的导出子图，则

• 图 $G^{\prime }$ 的点集是图 $G$ 的点集的子集;

• $G^{\prime }$ 中存在边 $(a,b)$，当且仅当点 $a$, $b$ 在 $G^{\prime }$ 中，且 $G$ 中存在边 $(a,b)$.

独立集：图中两两互不相邻的顶点构成的集合.

最大独立集：点数最大的独立集.

数据范围

对 $100\%$ 的数据，$2\le n\le 26$, $m\le \frac{n\times (n-1)}{2}$.

题解

考虑新加入一个节点对原来的图的影响

所以设 $f_s$ 表示选择了 $s$ 状态的点的最大独立集点数

假设新加入一个节点 $i$ ，那对于原来的图的状态 $j\in [0,2^i-1]$ ，可以列出 $dp$式子：

$f_{j|(2^i)}=max(f_j,f_{j\&((2^n-1)\oplus a_i)}+1)$

其中 $a_i$ 为与 $i$ 相连的点的状态

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a[27],f[1<<26],ans;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int u,v,i=0;i<m;i++)
		scanf("%d%d",&u,&v),
		a[v]|=(1<<u),a[u]|=(1<<v);
	for (int s=1,i=0;i<n;i++,s<<=1)
		for (int j=0;j<s;j++)
			f[j|s]=max(f[j],f[j&(~a[i])]+1);
	for (int i=(1<<n)-1;~i;i--) ans+=f[i];
	return printf("%d\n",ans),0;
}