#4507. Independent set 1

最新推荐文章于 2021-10-21 10:04:48 发布

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本文探讨了求解无向图所有导出子图的最大独立集大小之和的问题，通过动态规划的方法，详细阐述了如何利用新加入节点对原图状态的影响来优化解算过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

求无向图的所有导出子图的最大独立集大小的和.

导出子图：若图 $G^{'}$ 是图 $G$ 的导出子图，则

图 $G^{'}$ 的点集是图 $G$ 的点集的子集;
$G^{'}$ 中存在边 $(a, b)$ ，当且仅当点 $a$ , $b$ 在 $G^{'}$ 中，且 $G$ 中存在边 $(a, b)$ .

独立集：图中两两互不相邻的顶点构成的集合.

最大独立集：点数最大的独立集.

数据范围

对 $100%100\%$ 的数据， $2≤n≤262\le n\le 26$ , $m≤n×(n−1)2m\le \frac{n\times (n-1)}{2}$ .

题解

考虑新加入一个节点对原来的图的影响

所以设 $f_s$ 表示选择了 $s$ 状态的点的最大独立集点数

假设新加入一个节点 $i$ ，那对于原来的图的状态 $j∈[0,2^i-1]$ ，可以列出 $d p$ 式子：

$fj∣(2i)=max(fj,fj&((2n−1)⊕ai)+1)f_{j|(2^i)}=max(f_j,f_{j \& ((2^n-1) \oplus a_i)}+1)$

其中 $a_i$ 为与 $i$ 相连的点的状态

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a[27],f[1<<26],ans;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int u,v,i=0;i<m;i++)
		scanf("%d%d",&u,&v),
		a[v]|=(1<<u),a[u]|=(1<<v);
	for (int s=1,i=0;i<n;i++,s<<=1)
		for (int j=0;j<s;j++)
			f[j|s]=max(f[j],f[j&(~a[i])]+1);
	for (int i=(1<<n)-1;~i;i--) ans+=f[i];
	return printf("%d\n",ans),0;
}