Codeforces 451E Devu and Flowers 容斥原理暴力+Lucas定理

最新推荐文章于 2020-12-03 22:58:42 发布

原创最新推荐文章于 2020-12-03 22:58:42 发布 · 426 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

CODEFORCES_ 同时被 2 个专栏收录

232 篇文章

订阅专栏

Math

74 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一个关于从有限数量的盒子中选择特定数量花朵的问题，并通过使用Lucas定理来解决大整数组合计数问题。文章提供了一种有效的方法来计算在给定约束条件下选取花朵的所有可能方案数。

点击打开链接

题意:n个box,n<=20,每个盒子有fi朵花,fi<=1e12,同一个box的花无区别,某个盒子选的数量不同就算不同方案,问选S朵花方案数?S<=1e14

若盒子中花无限答案显然为 x1+x2+..xn=S 的解集个数C(n+S-1,n-1) (yi=xi+1,n+S个1,n+S-1个空隙中选n-1个)

现在多了限制fi,若某个xi>fi 则从S先抽掉f[i]+1个,方案数为C(S-(f[i]+1)+n-1,n-1) ,运用容斥扣掉至少有一个xi>fi的方案数

n<=20 1表示xi>fi,用二进制数表示暴力表示2^n种情况,大组合数取模用了Lucas定理C(n,m)%p = C(n/p,m/p) * C(n%p,m%p) %p

//plus:也可以用母函数来做

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e3+20;
const ll mod=1e9+7;
ll n,s,f[N],fact[N];
void preCalc()
{
	fact[0]=1;
	for(ll i=1;i<=100;i++)
		fact[i]=(fact[i-1]*i)%mod;
}
ll powmod(ll a,ll b,ll m)
{
	ll s=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			s=(s%mod*a%mod)%m;
		a=(a%mod*a%mod)%m;	
		b>>=1;
	}
	return s;
}
ll inverse(ll n,ll p)//逆元 
{
	return powmod(n,p-2,p);
}
ll C(ll n,ll k,ll p)
{
	//C(n,k)%p n为大数,用Lucas定理 
	ll ans=1;
	for(ll i=n-k+1;i<=n;i++)
		ans=((ans%mod)*(i%mod))%mod;
	return (ans*inverse(fact[k],mod)%mod)%mod;
}
ll Lucas (ll n , ll m , ll p) {
        return m == 0 ? 1 : 1ll*C (n%p , m%p , p) * Lucas (n/p , m/p , p) %  p ;
}
int main()
{
	preCalc();
	while(cin>>n>>s)
	{
		ll ans=0;
		for(int i=0;i<n;i++)
			scanf("%I64d",&f[i]);
		//O(N*2^N)
		for(ll i=0;i<(1<<n);i++)//
		{
			ll S=s,cnt=0;
			for(ll j=0;j<=n;j++)
			{
				if(i&(1<<j))//xj>fj 
					S-=f[j]+1,cnt++;
			}
			if(S<0) continue;
			ll res=Lucas(S+n-1,n-1,mod);
			if(cnt%2)//-(奇数个为正)
				res*=-1; 
			ans=(ans+res+mod)%mod;
		}
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}