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最新推荐文章于 2019-08-06 17:26:00 发布

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本文探讨了一种使用隔板法和容斥原理解决组合数学中特定问题的方法，即在给定的盒子数量和球数下，求取能够拿出特定数量球的不同方案数。通过详细的算法描述和代码实现，展示了如何处理盒子数量限制和非法情况的排除，以准确计算方案数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1题目大意：给出n个盒子，每个盒子里有val[i]个球，想要拿出s个球，从每个盒子里拿出相同的球算同种方案，求方案数。

首先对于式子 $x_{1}+x_2+x_3+x_4+......x_n=s$ 的非负整数解个数为 $C_{n+s-1}^{n-1}$ ，考虑隔板法，将s个东西分成n份，允许有空

相当于在s-1个空中放n-1个隔板，有空的盒子可以相当于先加上盒子个数个小球，真实计算是再减去，所以就是n+s个东西

其中n+s-1个空选择n-1个放。但是这道题有个数限制，所以不合法的情况就是其中的盒子放多了，因为放多了1个就不合法

所以设不合法的情况为val[i]+1（PS：之后再放自己里都不合法，所以不必计算，也不少不重复）。那么减去所有1个盒子放

多的情况时，多减去了2个放多的情况。所以要用容斥原理，减去奇数个放多的情况，对于组合数可以枚举，因为n≤20。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define mode 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
ll s,val[25],ans,now,gs,niv[25];
ll read()
{
    ll x=0,f=1;char ch;
    while(ch<'0'||ch>'9')  {if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*x;
}
ll C(ll x,ll y)
{
    if(x<y)return 0;
    ll as=1;
    for(ll i=x-y+1;i<=x;i++)
    {
        as=(as*(i%mode))%mode;
    }
    return as*niv[y]%mode;
}
int main()
{
    scanf("%d%lld",&n,&s);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        val[i]=read();
    }
    niv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)niv[i]=(mode-mode/i)*niv[mode%i]%mode;
    niv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)niv[i]=niv[i-1]*niv[i]%mode;
 	for(int i=0;i<=(1<<n)-1;i++)
 	{
 		gs=0,now=0; 
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(1<<(j-1)&i)
            {
                gs++;now+=val[j]+1;
            }
        }	
        if(gs%2==0)ans+=C(s+n-now-1,n-1),ans%=mode;
        else ans-=C(s+n-now-1,n-1),ans%=mode;
    }
 	printf("%lld",(ans%mode+mode)%mode);
    return 0;
}