【codeforces 451E】Devu and Flowers

最新推荐文章于 2020-10-24 20:57:02 发布

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#Lucas #排列组合 #codeforces #状压

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本文解析了DevuandFlowers题目，介绍了如何利用多重集组合数、Lucas定理和状态压缩来求解花坛中花朵组合的数量。通过二进制表示状态，结合Lucas定理取模，避免数据溢出。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：Devu and Flowers

题意：

有n个花坛，要选s支花，每个花坛有f[i]支花，同一个花坛的花颜色相同，不同花坛的花颜色不同，问可以有多少种组合。

解析：

多重集组合数+ $L u c a s$ 定理+状压。
直接上多重集组合数的公式就行了，这里由于 $n\leq\;20$ ，可以将状态压缩为二进制数，即枚举 $x = 0$ ~ $2^n-1$ ，若 $x$ 在二进制表示下共有 $p$ 位为1，分别是第 $i_1,i_2,......i_p$ 位，则这个 $x$ 就代表公式中的 $1)^pC_{N+M-c_{i_1}-c_{i_2}-......-c_{i_p}-p-1}^{N-1}$
特别的，若 $x = 0$ 则代表 $C_{N+M-1}^{N-1}$ 。并且为了防止爆 $l o n g$ $l o n g$ ，可以通过 $L u c a s$ 定理取模解决。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

const int mod=1e9+7;
const int Max=20;
int n,m,ans;
int num[Max];

inline int ksm(int a,int b)
{
	int ans=1;
	a%=mod;
	while(b)
	{
	  if(b&1) ans=(ans*a)%mod;
	  b>>=1;
	  a=(a*a)%mod;
	}
	return ans;
}
inline int C(int n,int m)
{
	if(n>=0&&m>=0&&n>=m)
	{
	  int s1=1,s2=1;
	  for(int i=m-1;~i;i--)
	  {
	 	s1=s1*(n-i)%mod;
	 	s2=s2*(i+1)%mod;
	  }
	  return s1*ksm(s2,mod-2)%mod;
	}
	else return 0;
}
inline int Lucas(int n,int m)
{
	if(!m) return 1;
	return (C(n%mod,m%mod)*Lucas(n/mod,m/mod))%mod;
}

signed main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=0;i<n;i++) cin>>num[i];
	for(int k=0;k<(1<<n);k++)
	{
	  int p=0,t=n+m;
	  for(int i=0;i<n;i++)
	  {
	  	if(!((1<<i)&k)) continue;
	  	t-=num[i],p++;
	  }
	  if(t-p-1<0) continue;  //注意特判
	  t-=p+1;
	  if(p&1) ans=(ans-Lucas(t,n-1))%mod;
	  else ans=(ans+Lucas(t,n-1))%mod;
	}
	cout<<(ans%mod+mod)%mod;
	return 0;
}