百度松果小码哥考研小技巧 (概率期望)

原创已于 2022-10-16 18:30:30 修改 · 504 阅读

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#算法 #c++

于 2022-10-15 22:27:03 首次发布

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本文介绍了一种通过优化单词背诵顺序来最大化背诵效率的方法。通过对单词按特定条件排序，实现背诵长度期望值的最大化。

题目描述

要考研了，小码哥非常焦急，他要开始背英语单词，每个单词的长度是 $l_i$ ,小码哥有 $p i$ 的概率认识这个单词，小码哥要从一个有 $n$ 个单词的总清单里按顺序的背单词，小码哥有一个认识清单，里面放的都是他认识的单词，如果小码哥背到第 $i$ 个单词不认识这个单词，小码哥会把该单词背一遍并且把自己认识的单词从头背一遍，如果小码哥认识这个单词，他会把该单词背一遍，并且把这个单词放进自己的认识清单里。问如何排序小码哥背单词的长度的期望最大，期望是多少。

输入格式

第一行包含单个整数 $n(1≤n≤50000)n(1\le n\le 50000)$ 。下面 $n$ 行中的第 $i$ 行包含两个整数，用一个空格隔开 $l_i$ 和 $p_i$ ( $1≤li≤1000,0≤pi≤1001\le l_i\le 1000,0\le pi\le 100$ )——第 $i$ 个单词的长度和小码哥认识这个单词的概率(以百分比为单位)。

输出格式

单行打印单个实数表示小码哥背单词的长度的最大期望。绝对误差或相对误差不超过 $10^{-9}$ 。

输入样例1

输出样例1

326.12

输入样例2

输出样例2

1364.045

分析

我们要为所有的单词排一个顺序，使得最终背诵的单词长度期望最大。
设 $w_i$ 为单词 $i$ 的权值 $l_i*p_i$ 。
假设a、b两个单词，如果小码哥先背b后背a，那么他背到a的时候期望要加上

$la∗pa+(1−pa)∗(w其他+wb+wa)(1)l_a*p_a+(1-p_a)*(w_{其他}+w_b+w_a)\qquad (1)$
如果先背a后背b那么背到b时他的期望要加上：
$lb∗pb+(1−pb)∗(w其他+wb+wa)(2)l_b*p_b+(1-p_b)*(w_{其他}+w_b+w_a)\qquad (2)$
我们给(1)式子乘上 $1-p_b)$ ，(2)式乘上 $1-p_a)$ ：
$la∗pa∗(1−pb)+(1−pa)∗(1−pb)∗(w其他+wb+wa)(1)l_a*p_a*(1-p_b)+(1-p_a)*(1-p_b)*(w_{其他}+w_b+w_a)\qquad (1)$
$lb∗pb∗(1−pa)+(1−pb)∗(1−pa)∗(w其他+wb+wa)(2)l_b*p_b*(1-p_a)+(1-p_b)*(1-p_a)*(w_{其他}+w_b+w_a)\qquad (2)$
之后我们会发现一个公共项可以约掉：
$1-p_a)*(1-p_b)*(w_{其他}+w_a+w_b)$
如果 $(1) - (2) > 0$ ：
$la∗pa∗(1−pb)−lb∗pb∗(1−pa)>0(3)l_a*p_a*(1-p_b)-l_b*p_b*(1-p_a)>0\qquad (3)$

所以我们要取到最优解，就要满足 $(3)$ 式的排序方法。
排序后将所有的概率和权值相乘后累加即可。

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
const double eps=1e-9;
//定义一个结构体
struct node{
    int len,theta;
    
    bool operator<(const node &p) const{
        if(len*theta*(1-1.0*p.theta/100)-p.len*p.theta*(1-1.0*theta/100))
        {
        	//满足关系（3）进行排序
            if(len*theta*(1-1.0*p.theta/100)>p.len*p.theta*(1-1.0*theta/100)){
                return 1;
            }
        }
        return 0;
    };  
};
int n,,l,r;
long double ans,Summul;
int main()
{
    vector<node> v,maxn;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>l>>r;
        v.push_back({l,r});
    }
    sort(v.begin(),v.end());
    
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
    	//加上这个单词的期望
        ans+=(long double)v[i].len*v[i].theta*1.0/100+(long double)(Summul+v[i].len)*(1-v[i].theta*1.0/100);
        //更新 w其他
        Summul+=(long double)v[i].len*v[i].theta*1.0/100;
    }
	
	//将答案转换为字符串形式
    string s=to_string(ans);
    //将小数点后的多余的'0'给去掉
    while(s.back()=='0') s.pop_back();
    cout<<s;
    
    return 0;
}