如何理解矩阵相乘的几何意义或现实意义？为什么矩阵乘法是“行乘列”？在什么意义上两个矩阵可以“乘”？为何某些矩阵之间无法相乘？

在数学概念中，矩阵乘法看似纯粹的代数运算，却内在地关联着几何结构、空间变换、线性映射，乃至现实世界中计算建模。矩阵乘法不仅关乎向量在空间中的投影、旋转、缩放等几何变换的叠加，也映射着物理建模、图像处理、数据压缩与神经网络中的运算。在高等代数课程中，矩阵乘法往往作为线性变换的复合工具而出现，但若脱离几何与现实语义，仅在“行乘列”这一操作规则上，便极易陷入机械模仿而不解其理。为何是行乘列？在什么意义上两个矩阵可以“乘”？为何某些矩阵之间无法相乘？

1. 向量空间与线性变换的基本构造

线性代数中，向量空间与线性变换是构成整个理论体系的基石。向量空间本质是元素(向量)集合的结构，这些元素能够进行向量加法和数乘运算，且满足一系列公理。给定两个实向量空间

和

，它们的维度分别是

和

，意味着空间中可以分别选取

和

个线性无关基向量，任何向量均可用基向量的线性组合唯一表示。

1.1 线性变换定义及其矩阵表示

从

到

的映射

称为线性变换，如果满足线性性：

• 对任意
  
  ，
  
  ；
• 对任意标量
  
  和
  
  ，
  
  。

由于

是有限维的，固定一组基

为

，和

为

，可以对任意向量

用坐标向量

表示，

在这组基下的矩阵表示

是一个

矩阵，使得：

其中

，

。

矩阵的构造过程：

对基向量

作用