人工智能必备数学基础（二）

关注

原创最新推荐文章于 2026-07-30 14:14:31 发布 1.9k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

机器学习笔记1—泰勒展开式和牛顿法 机器学习笔记1—泰勒展开式和牛顿法写在前面：自学机器学习的菜鸟一枚，希望通过记录博客的形式来记录自己一点点的进步~ 下面都是学习过程中自己的一些思考和学习，希望大神们批评指正。1.1 泰勒展开式1.1.1泰勒展开式入门首先，百度了一波，搜到了一个泰勒展开式入门的短短6分钟的视频，好像突然感受到了一点点数学的美。还有发现其实真的没有必要死记公式啊。泰勒展开式的入门浓浓的台湾腔调啊。泰勒公式的表达式：阅读详情

导读：数学基础知识蕴含着处理智能问题的基本思想与方法，也是理解复杂算法的必备要素。今天的人工智能技术归根到底都建立在数学模型之上

小编整理了有关人工智能的资料，有python基础，图像处理opencv\自然语言处理、机器学习
数学基础等资源库，想学习人工智能或者转行到高薪资行业的，大学生也非常实用，无任
何套路免费提供,，加我裙【966367816】下载，或者扫码+vx 也可以领取的内部资源，人工智能题库，大厂面试题学习大纲自学课程大纲还有200G人工智能资料大礼包免费送哦~

微积分

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

设函数f(x）=0在[a,b]上有解，在[a，b]中任意插入若干个分点

a=x0<x1<...<xn-1<xn=b

把区间[a，b]分成n个小区间

[x0，x1]，...[xn-1，xn]。

在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi），作函数值f（ξi）与小区间长度的乘积f（ξi）△xi，并作出和

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f(x）在区间[a,b]上的定积分记作K。

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。

定积分

定义：定积分就是求函数f(X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[a,x0],(x0,x1],(x1,x2],…,(xi,b]，可知各区间的长度依次是：△x1=X0-a，△x2=X1-x0,…，△xi=b-xi.在每个子区间（xi-1,xi）任取一点ξi(i=1,2,…,n），作和式（见右下图），设λ=max{△x1，△x2,…，△xi}(即λ属于最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为（见右下图）：

其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

分点问题：定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δx是相等的。但是必须指出，即使Δx不相等，积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”S=f(x1）Δx1+f(x2）Δx2+……f[x(n-1)]Δx(n-1），那么当n→+∞时，Δx的最大值趋于0，所以所有的Δx趋于0，所以S仍然趋于积分值.

利用这个规律，在我们了解牛顿-莱布尼兹公式之前，我们便可以对某些函数进行积分。例如我们可以证明对于函数f(x)=x^k（k∈Q，k≠-1），有∫下限a 上限b f(x)dx=(b^(k+1)-a^(k+1))/(k+1)。

我们选择等比级数来分点，令公比q=n^√（b/a），则b/a=q^n，b=aq^n。令分点x0=a,x1=aq,x2=aq^2……xn=aq^n=b，因为f(xj)=xj^k=a^k*q^jk，且Δxj=x(j+1)-xj=aq^(j+1)-aq^j 那么“矩形面积和”

Sn=a^k*(aq-a)+a^k*q^k*(aq^2-aq)+a^k*q^2k*(aq^3-aq^2)+……+a^k*q^(n-1)k*[aq^n-aq^(n-1)]

提出a^k*(aq-a），则

Sn=a^(k+1)*(q-1)*[1+q^(k+1)+q^2(k+1)+……q^(n-1)(k+1)]

利用等比级数公式，得到

Sn=(q-1)/(q^(k+1)-1)*(b^(k+1)-a^(k+1))=(b^(k+1)-a^(k+1))/N

其中N=(q^(k+1)-1)/(q-1），设k=u/v(u,v∈Z），令q^(1/v)=s，则

N=(s^(k+1)v-1)/(s^v-1)=(s^u+v-1)/(s^v-1)=((s^(u+v)-1)/(s-1))/((s^v-1)/(s-1))

令n增加，则s,q都趋于1，因而N的极限为（u+v)/v=u/v+1=k+1.

于是∫下限a 上限b f(x)dx=(b^(k+1)-a^(k+1))/(k+1)。

应用：

1，解决求曲边图形的面积问题

例：求由抛物线y^2=4x与直线y=2x-4围成的平定积分的应用(4张)面图形D的面积S.

2，求变速直线运动的路程

做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t）≥0）在时间区间[a,b]上的定积分。

3，变力做功

某物体在变力F=F(x）的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于F=F(x）在[a,b]上的定积分。

牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。

牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式， 1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。

牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。

基本简介：若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，则

这即为牛顿-莱布尼茨公式。

理解:比如路程公式: 距离s=速度v*时间t，即s=v*t，那么如果t是从时间a开始计算到时间b为止，t=b-a，而如果v不能在这个时间段内保持均速，那么上面的这个公式(s=v*t，t=b-a)就不能和谐的得到正确结果，于是引出了定积分的概念。

公式应用：那么如何在用积分得到上述路程公式呢?

这个公式能表明路程s是每个不同速度时候行驶的时间和当前速度乘积的和。

牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程:

对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为:

b∫a*f(x)dx

现在我们把积分区间的上限作为一个变量，这样我们就定义了一个新的函数：

Φ(x)= x∫a*f(x)dx

但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了:

Φ(x)= x∫a*f(t)dt

研究这个函数Φ(x)的性质: 1、定义函数Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt，则Φ 与格林公式和高斯公式的联系

'(x)=f(x)。

泰勒公式

在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒公式（Taylor's formula）带Peano余项的Taylor公式（Maclaurin公式）：可以反复利用L'Hospital法则来推导，

f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)

泰勒中值定理（带拉格郎日余项的泰勒公式）：若函数f(x）在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x0)多项式和一个余项的和：

f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0）+f''(x0)/2!*(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x)

其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)！*(x-x0)^(n+1)，这里ξ在x和x0之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

（注：f(n)(x0)是f(x0)的n阶导数，不是f(n)与x0的相乘。）

使用Taylor公式的条件是：f(x)n阶可导。其中o((x-x0)^n）表示比无穷小(x-x0)^n更高阶的无穷小。

Taylor公式最典型的应用就是求任意函数的近似值。Taylor公式还可以求dengjiwuqiong，证明不等式，求极限等

应用实例：欧拉公式的证明

e^(iπ) + 1 = 0

函数 y = exp(x) 的泰勒展开式为

exp(x) = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... + xⁿ/n! + ...

令 x = iω：

exp(iω) = 1 + iω - ω²/2! - iω³/3! + ω⁴/4! + iω⁵/5! - ω⁶/6! - iω⁷/7! + ...

= cos ω + i sin ω

再令 ω = π：

e^(iπ) = cos π + i sin π = -1. 证毕.

拉格朗日乘子法

基本的拉格朗日乘子法(又称为拉格朗日乘数法)，就是求函数f(x1,x2,...)在g(x1,x2,...)=0的约束条件下的极值的方法。其主要思想是引入一个新的参数λ(即拉格朗日乘子)，将约束条件函数与原函数联系到一起，使能配成与变量数量相等的等式方程，从而求出得到原函数极值的各个变量的解。

算法：拉格朗日乘子(Lagrangemultiplier)

假设需要求极值的目标函数(objectivefunction)为f(x,y)，限制条件为φ(x,y)=M

设g(x,y)=M-φ(x,y)

定义一个新函数

F(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y)

则用偏导数方法列出方程：

∂F/∂x=0

∂F/∂y=0

∂F/∂λ=0

求出x,y,λ的值，代入即可得到目标函数的极值

扩展为多个变量的式子为:

F(x1,x2,λ)=f(x1,x2,)-λg(x1,x2)