斐波那契质数

Fibonacci数大家一定很熟悉了：

    

    

    

 

Fibonacci质数的定义：

    若某Fibonacci数与任何比它小的Fibonacci数互质，那么它就是Fibonacci质数。

 

但是哪些的Fibonacci数才是Fibonacci质数呢？这里先给出结论：

    1. F(3)和F(4)是Fibonacci质数；从F(5)开始，某项为Fibonacci质数当且仅当它的项数为质数

    2. 第k小的Fibonacci质数是以质数数列中的第k个数为项数的Fibonacci数( 除F(3)和F(4)之外 )

 

证明如下：

证明任何与“互质”有关的问题，可以从余数入手，因此考察所有数除以M（M任意）的余数所组成的序列 : 

所有数除以相应的某些M（M≠1）都可以余数为0，因此我们的M从这些数种选取。

此时 ，假设  中的第一个零元素为 ，同时假设其前一个元素 。

根据同余可加性：

可得：

 

                             

由上述结论可得，因为  序列和  序列一样每个数只与其前两个数相关，因此从  开始的子序列相当于从  开始的序列乘以a。由此可见，当且仅当p为k的倍数时， 。此时  和  都能被M整除，因此  和  有公因数M（M≠1）， 和  不互质， 不为Fibonacci质数(k<p)。因此对于任一合数q，都有k能够整除q（k<q），此时  和  有公因数， 就不为Fibonacci质数。

 

因此得到结论（上述的逆反命题）：若  为Fibonacci质数，则q为质数。但存在个别反例：

    1.  ，所以不是Fibonacci质数

    2. ，虽然4是2的倍数，但 ，所以  和  互质，因此  仍为Fibonacci质数

最终结论：Fibonacci数列中的第3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … 项为Fibonacci质数

//刘汝佳黑书中也有这题p221