ACM模拟题详解（3）——数论（续）

5、Prime Ring Problem

Problem Description

A ring is compose of n circles as shown in diagram. Put natural number 1, 2, ..., n into each circle separately, and the sum of numbers in two adjacent circles should be a prime.

Note: the number of first circle should always be 1.

Input

n (0 < n < 20).

Output

The output format is shown as sample below. Each row represents a series of circle numbers in the ring beginning from 1 clockwisely and anticlockwisely. The order of numbers must satisfy the above requirements. Print solutions in lexicographical order.

You are to write a program that completes above process.

Print a blank line after each case.

Sample Input

6

8

Sample Output

Case 1:

1 4 3 2 5 6

1 6 5 2 3 4

Case 2:

1 2 3 8 5 6 7 4

1 2 5 8 3 4 7 6

1 4 7 6 5 8 3 2

1 6 7 4 3 8 5 2

翻译：n个数字（1,2,3...n）围成一个圈，要求相邻的两个数字之和是质数。题目要求根据给出的n，计算所有能够组成满足条件的圈的数字序列。

解题思路：

首先选择1，然后选择和1相加等于质数的数字，可能有很多种情况，例如（n=6的情况）：

1+2

1+4

1+6

然后针对每种情况，再选择与第二个数的和为质数的数字，得到下面的序列

1+2+3

1+2+5

1+4+3

1+6+5

直到所有的数字都选择完，把所有的组合列出即可。计算的过程就是构造下面的树的过程。

从图中可以看出1-4-3-2-5-6 和 1-6-5-2-3-4是两个合法的解。

对于树的遍历可以采用深度优先，也可以采用广度优先，如果采用广度优先占用的内存比较大，所以解空间比较大的时候不宜采用。

下面是采用广度优先实现的（当n=18和n=20的时候内存不够用）

/*

* Prime Ring Problem

*/

public static void test4(int n){

int values[] = new int[n];

// 初始化

for(int i=0;i<n;i++){

values[i] = i+1;

}

// 表示遍历过程中可能的解

List list = new ArrayList();

list.add(values);

// 处理后面的n-1个数字，1永远是第一个

for(int i=1;i<n;i++){

List temp = list;

list = new ArrayList();

// 对于每个可能的解，得到下一层节点

for(int j=0;j<temp.size();j++){

int tempValues[]=(int[])temp.get(j);

// 考虑所有可能的组合

for(int k=i;k<n;k++){

if(isPrime(tempValues[i-1]+tempValues[k])){

// 创建新的状态，并复制原来的值

int[] newValues = Arrays.copyOf(tempValues, tempValues.length);

// 交换i和k处的值

if(i!=k){

int change = newValues[i];

newValues[i] = newValues[k];

newValues[k] = change;

}

// 把新状态添加到列表中

list.add(newValues);

}

}

}

}

// 输出结果

for(int i=0;i<list.size();i++){

int[] tempValues = (int[])list.get(i);

if(isPrime(tempValues[0]+tempValues[n-1])){

for(int j=0;j<n;j++){

System.out.print(tempValues[j]+" ");

}

System.out.println();

}

}

System.out.println(list.size());

}

下面是深度优先的算法。

/*

* Prime Ring Problem（深度优先）

*/

public static void test5(int n){

// 数组的前n个元素表示环中的数字，第n+1个数据表示数组中前n+1个元素是满足条件的

int values[] = new int[n+1];

// 初始化

for(int i=0;i<n;i++){

values[i] = i+1;

}

values[n]=1;

// 表示遍历过程中可能的解

List list = new ArrayList();

list.add(values);

StringBuffer sb = new StringBuffer();

while(list.size()>0){

// 取出第一个元素

int tempValues[]=(int[])list.get(0);

// 表示处理到第几层，第一层用0表示

int index=tempValues[n];

// 遍历并生成所有可能的下一层节点

for(int k=tempValues[n];k<n;k++){

if(isPrime(tempValues[index-1]+tempValues[k])){

// 如果是最后一层并且，最后一个数和第一个数的和

// 也是质数，则输出结果

if(index==n-1 && isPrime(tempValues[index]+1)){

for(int j=0;j<n;j++){

sb.append(tempValues[j]+" ");

}

sb.append("\n");

// 分批输出

if(sb.length()>10000){

System.out.print(sb.toString());

sb=new StringBuffer();

}

continue;

}

// 创建新的状态，并复制原来的值

int[] newValues = Arrays.copyOf(tempValues, tempValues.length);

// 交换i和k处的值

if(index!=k){

int change = newValues[index];

newValues[index] = newValues[k];

newValues[k] = change;

}

newValues[n] = newValues[n]+1;

// 把新状态添加到列表中,放在最前面，深度优先，

// 如果采用广度优先，则应该放到最后面

list.add(0,newValues);

}

}

// 从list中删除当前的节点

list.remove(tempValues);

}

System.out.print(sb.toString());

}

6、人见人爱A^B

Problem Description

求A^B的最后三位数表示的整数。

说明：A^B的含义是“A的B次方”

Input

输入数据包含多个测试实例，每个实例占一行，由两个正整数A和B组成（1<=A,B<=10000），如果A=0, B=0，则表示输入数据的结束，不做处理。

Output

对于每个测试实例，请输出A^B的最后三位表示的整数，每个输出占一行。

Sample Input

2 3

12 6

6789 10000

0 0

Sample Output

8

984

1

解题思路：要求6789的10000次方，使用Java语言提供的数据类型肯定要越界，可以使用之前介绍的大数解决方案，但是计算量会非常大。仔细看这道题会发现要求求结果的后3位，所以6789*6789与789*789的结果的后3位是相同的，所以在处理的时候只需要考虑后3位即可，这样处理解简单了。下面的代码供参考：

/*

* A的B次方的后3位

*/

public static int test6(int a,int b){

// 保留后3位

int temp = a%1000;

int result = temp;

for(int i=1;i<b;i++){

result = (result*temp)%1000;

}

return result;

}