最小编辑距离 | Minimum Edit Distance

最新推荐文章于 2025-06-06 12:17:45 发布

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最新推荐文章于 2025-06-06 12:17:45 发布 · 1.7k 阅读

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#算法 #动态规划 #坐标DP

最小编辑距离用于衡量两个字符串之间的差异，通过计算转换所需的最少删除、插入和替换次数。状态转移通过二维dp数组实现，当字符串对应位置字符相等时，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]；不等时，dp[i][j]取删除、插入、替换操作的最小值。这是一种坐标DP的应用，状态依赖于整个矩阵的路径。

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关于两个字符串s1,s2的差别，可以通过计算他们的最小编辑距离来决定。
设A、B为两个字符串，狭义的编辑距离定义为把A转换成B需要的最少删除（删除A中一个字符）、插入（在A中插入一个字符）和替换（把A中的某个字符替换成另一个字符）的次数，用ED（A，B）来表示。直观来说，两个串互相转换需要经过的步骤越多，差异越大。

对于编辑距离的状态转移较为难想。
正确的思路应当是将s1的前i位数据转换成s2的前j位数据所需要的转换步数设置为dp[i][j]

如上图，由上往下表示添加，例如a->azc
由左往右表示删除，例如abc->a
斜向下表示更新，例如abc->azc

于是某一点的最小编辑距离首先需要考虑的是s[i]==s2[j]??
如果相等，则考虑d[i][j]=dp[i-1][j-1];也即这一位不需要进行变换。
而不相等的时候，需要进行变换，并寻找如何才能在最短的步数完成变换。

故有3条方式：以ab->az为例
不考虑b的时候，a->az = 1，故ab->az = 2 ，也即在a->az基础上添加b
不考虑z的时候，ab->a = 1，故ab->az = 2 ，也即在a->az基础上删除b，添加z，一共2步
不考虑b和z的时候，a->a = 0, 故ab->az=1，也即在a->a基础上，将b->z 一共1步

//说实话这个挺晦涩,过几天再好好总结一下

不过这样一来DP方程倒是比较简单了。
s[i]==s[j]时，dp[i][j]=dp[i-1]][j-1]
s[i]!=s[j]时，dp[i][j]=min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j],dp[i][j-1])