关节点算法（深度优先搜索)

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已于 2023-02-04 16:47:27 修改 · 1.5k 阅读

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#算法 #深度优先 #图论

于 2023-02-04 14:21:36 首次发布

文章介绍了关节点的概念，即在连通图中，必须经过的顶点才能到达其他部分。通过深度优先搜索两次，首先计算访问次序num数组，然后确定low数组，从而识别关节点。算法复杂度为O(|E|+|V|)，适用于查找图的结构关键点。

关节点算法

关节点的定义
在连通图当中，对于某个顶点的孩子顶点或其子树中顶点，如果要访问某个顶点的双亲节点或更上级节点，必须经过此顶点，那么此顶点我们称之为关节点。对于关节点之下的某个子树，这个关节点充当"一夫当关，万夫莫开"的角色。在算法中，关节点可以通过多次深度优先搜或合并的深度优先搜索求得。
关节点算法中的基本规则
对于本文中的图，我们抽象出下属几个变量和规则来完成关节点的算法。

对于每个顶点，都具备以下属性：

num[v]: 通过DFS访问某个顶点的次序，为了方便描述我们定义A为0号元素，以此类推，那么从顶点A开始遍历，num[v]的可能数组为num[0]=1, num[3]=1, num[4]=3, num[5]=4,num[2]=5, num[6]=6; num[1]=7;
visited[v]: 标记元素v是否被访问，未方位标记为0，已访问标记为1
low[v]数组，对于某个元素的low[v]的值，取决于下列三类值的递归大小
- num[v] - Rule 1
- the lowest num[w] among all back edges(v,w)- Rule 2
- the lowest low[w] among all tree edges(v,w) -Rule 3

对于num[v],代表节点自身访问次序号，它不考虑任何tree edge 或者 back edge，可以采用先序深度遍历实现；对于num[w]只得是v的某个孩子节点或更下的孩子节点有回边到v的父节点之上的顶点（v的直接父节点不考虑）；对于low[w]为在孩子节点中不断搜寻最小的值，逐个孩子进行比较，这里涉及到后续遍历处理完成退出递归后的比较处理，在这个过程中可能也涉及到回边的处理。

判断为节点的条件，有两种情况可以认定某个顶点为节点

如果根节点有两个或两个以上的独立的子树，那么根节点就是关节点，因为如果移除根节点，那么就会形成两棵独立的子树
对于非根节点，如果其low(w)>=num(v), 其中w为v的邻接点，这时候，如果w要回达到v以上的祖先节点，那么v就是必经点，此时v为关节点。如果v为根节点，那么此关系总成立，所以需要进行独立判断。

代码实现，本代码采用两个DFS进行遍历，其中第一个DFS求出num数组，第二个DFS进行遍历，求出low数组，同时打印出关节点。在第二个DFS遍历过程中，需要判断(v,w)边的类型，可以利用num数组进行判断，对于tree edge(直接遍历边），num[w]>num[v],对于back edge(回边）num[w]<num[v], 通过比较两个顶点大小，便可判断访问边的基本类型。

/*
@brief, 
This function will work out the vertex visiting order via DFS traversal and the order will be kept in the num[s] in the pre-order mode
@param G, Adjacent List Graph
@param s, Starting Search Point
*/
void assign_num(ALGraph G,int s)
{
   
   
    int v;
    int w;
    
    //counter is the global variable to indicate the visiting order
    //num is also the global varaible shared in different functions
    //visited[] indicate if the vertex had been visited or not    
    num[s]=counter++;
    visited[s]=1;
    v = s;

    for(w=FirstAdjVex(G