射频电路与理论设计（传输线）——学习笔记3

最新推荐文章于 2025-04-29 12:04:54 发布

小张同学_Y

最新推荐文章于 2025-04-29 12:04:54 发布

阅读量2.5k

点赞数 21

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：射频电子学学习文章标签：学习笔记

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Jason_UESTC/article/details/134600352

学习同时被 2 个专栏收录

10 篇文章

订阅专栏

射频电子学

2 篇文章

订阅专栏

一.常见的的传输线种类有哪些？

答：同轴线、微带线、波导（矩形波导和圆柱形波导）

二.传输线等效电路推导过程

首先本质上需要从基尔霍夫电流和电压方程入手

推导出传输线方程（电压和电流）-->是典型的波动方程-->求解可得电压和电流

下图为一段传输线等效电路模型

1.根据KCL、KVL可以得到

$v(z,t) - R\Delta zi(z,t) - L\Delta z\frac{{\partial i(z,t)}}{{\partial t}} - v(z + \Delta z,t) = 0$

$i(z,t) - G\Delta zv(z + \Delta z,t) - C\Delta z\frac{{\partial v(z + \Delta z,t)}}{{\partial t}} - i(z + \Delta z,t) = 0$

2.由于且 ${\Delta z}$ 趋近于0，故可对上述两个式子进行移向整理可以得到，

$- \frac{\partial v(z,t)}{\partial z} = - \frac{v(z,t) - v(z + \Delta z,t)}{ - \Delta z} = Ri(z,t) + L\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}$

$- \frac{{\partial i(z,t)}}{{\partial z}} = - \frac{{i(z,t) - i(z + \Delta z,t)}}{{ - \Delta z}} = Gv(z,t) - C\frac{{\partial v(z,t)}}{{\partial t}}$

3.在转化为复数的形式，可以得到

$\frac{dV(z)}{dz} = - (R + j\omega L)I(z)$

$\frac{dI(z)}{dz} = - (G + j\omega C)V(z)$

4.对上述两个式子再对z求导可以得到

$\frac{{d^2}V(z)}{d{z^2}} = - (R + j\omega L)\frac{dI(z)}{dz} = (R + j\omega L)(G + j\omega C)V(z)$

$\frac{{d^2}I(z)}{d{z^2}} = - (G + j\omega C)\frac{dV(z)}{dz} = (R + j\omega L)(G + j\omega C)I(z)$

定义 $k = \sqrt {(R + j\omega L)(G + j\omega C)} = \alpha + j\beta$ 为复传播常数

其中α为衰减常数 β为相位常数

5.故可对上述式子化简为

$\frac{{d^2}V(z)}{d{z^2}} - {k^2}V(z) = 0$

$\frac{{d^2}I(z)}{d{z^2}} - {k^2}I(z) = 0$

这是传输线方程（电报方程），这是典型的波动方程，故可以求其解析解

6.求得上述波动方程解析解

$V(z) = {V^ + }{e^{ - kz}} + {V^ - }{e^{kz}}$ $I(z) = {I^ + }{e^{ - kz}} + {I^ - }{e^{kz}}$

其中 $k = \sqrt {(R + j\omega L)(G + j\omega C)} = \alpha + j\beta$

7.将上述复数形式的解转换为一般形式的解

$v(t,z) = \left| {V_o^ + } \right|\cos \left( {\omega t - \beta z + {\phi _{u^ + }}} \right){e^{ - \alpha z}} + \left| {V_o^ - } \right|\cos \left( {\omega t + \beta z + {\phi _{u^ - }}} \right){e^{\alpha z}}$

$i(t,z) = \left| {i_o^ + } \right|\cos \left( {\omega t - \beta z + {\phi _{i^ + }}} \right){e^{ - \alpha z}} + \left| {i_o^ - } \right|\cos \left( {\omega t + \beta z + {\phi _{i^ - }}} \right){e^{\alpha z}}$

此时波长可以被定义为 $\lambda = \frac{{2\pi }}{\beta }$

由式子 $\beta = \frac{{2\pi }}{\lambda }$ 可知相位常数β表示的是单位长度对应的相位

相速可以被定义为 ${v_P} = \frac{\omega }{\beta } = \lambda f$

三.传输线参量分析

1.传输线的特性阻抗：Z0

${Z_0} = \frac{V^ + }{I^ + } = - \frac{V^ - }{I^ - } = \sqrt {(R + j\omega L)/(G + j\omega C)}$

传输线的特性阻抗仅依赖于传输线上单位长度的R,L,G,C

2.复传播常数k和相速Vp的关系

复传播常数

$k = \alpha + j\beta = \sqrt {(R + j\omega L)(G + j\omega C)}$

对于无耗传输线来说的话，R=G=0

则

$k = \alpha + j\beta = j\omega \sqrt {LC}$

其中α为衰减常数、β为相位常数（波数）

波长λ 波速Vp 频率f 波数β的关系：

① $\lambda = \frac{v_P}{f}$

②由于 $\beta = \omega \sqrt {LC}$ ，且 ${v_P} = \frac{\omega }{\beta }$

则 ${v_{\rm{P}}} = \frac{1}{\sqrt {LC} }$

③由前两个式子中的 $\lambda = \frac{v_P}{f}$ 和 ${v_P} = \frac{\omega }{\beta }$

得 $\beta = \frac{\omega }{v_{\rm{P}}} = \frac{2\pi }{\lambda }$

3.电压反射系数

$V(z) = {V^ + }{e^{ - kz}} + {V^ - }{e^{kz}}$

电压反射系数==> $\Gamma (z) = \frac{{V^ - }(z)}{{V^ + }(z)}$

★ ${\Gamma _o} = \frac{{Z_L} - {Z_o}}{{Z_L} + {Z_o}}$

针对无耗传输线得情况下

$\Gamma (z) = \frac{{V^ - }(z)}{{V^ + }(z)} = {\Gamma _o}{e^{2kz}} = {\Gamma _o}{e^{2j\beta z}}$

${\Gamma _{in}}(z) = \frac{{Z_{in}}(z) - {Z_o}}{{Z_{in}}(z) + {Z_o}}$

4.输入阻抗（无损耗传输线）

由于最初的传输线推导而得

${Z_{in}}(d) = {Z_O}\frac{{Z_L}\cos \beta d + j{Z_O}\sin \beta d}{{Z_O}\cos \beta d + j{Z_L}\sin \beta d} = {Z_O}\frac{{Z_L} + j{Z_O}\tan \beta d}{{Z_O} + j{Z_L}\tan \beta d}$

5.驻波比

① 驻波是在振动频率、振幅和传播速度相同而传播方向相反的两列波叠加时产生的。

驻波上振幅最大处称为波腹，振幅最小处称为波节。

相邻两个波节之间的距离是半个波长。

② 行波是一列波沿一个方向传播而毫无阻力，即完全匹配无反射波的情况。

③ 行驻波是一列波沿一个方向传播而受到部分阻力，部分被反射回来形成的情况。

用驻波比衡量波的状态。

$SWR = \frac{\left| {V_{\max }} \right|}{\left| {V_{\min }} \right|} = \frac{\left| {I_{\max }} \right|}{\left| {I_{\min }} \right|}$

通常使用的是电压驻波比，常用反射系数 $\Gamma$ 表示：

$VSWR = \frac{\left| {V_{\max }} \right|}{\left| {V_{\min }} \right|} = \frac{1 + \left| \Gamma \right|}{1 - \left| \Gamma \right|}$

6.回波损耗和插入损耗

$RL = - 10\log \left( {\frac{P_r}{P_i}} \right) = - 10\log {\left| {\Gamma _{ip}} \right|^2} = - 20\log \left| {\Gamma _{in}} \right| (dB)$

$IL = - 10\log \left( {\frac{P_t}{P_i}} \right) = - 10\log \left( {\frac{{P_i} - {P_r}}{P_i}} \right) = - 10\log \left( {1 - {{\left| {\Gamma _{in}} \right|}^2}} \right)(dB))$

四.三种无损耗传输线

a.终端短路传输线

ZL=0

${\Gamma _o} = \frac{{Z_L} - {Z_o}}{{Z_L} + {Z_o}} = - 1$

$\Gamma (z) = {\Gamma _o}{e^{2kz}} = {\Gamma _o}{e^{2j\beta z}}$

${Z_{in}}(d) = {Z_O}\frac{{Z_L} + j{Z_O}\tan \beta d}{{Z_O} + j{Z_L}\tan \beta d} = j{Z_O}\tan \beta d$

b.终端开路传输线

ZL=∞

${\Gamma _o} = \frac{{Z_L} - {Z_o}}{{Z_L} + {Z_o}} = 1$

$\Gamma (z) = {\Gamma _o}{e^{2kz}} = {\Gamma _o}{e^{2j\beta z}}$

${Z_{in}}(d) = {Z_O}\frac{{Z_L} + j{Z_O}\tan \beta d}{{Z_O} + j{Z_L}\tan \beta d} = - j{Z_O}\cot \beta d$

c.特定长度的端接负载传输线

ZL≠∞且ZL≠0

当d=λ/2或者其整数倍时，由于 ${Z_{in}} = {Z_O}\frac{{Z_L} + j{Z_O}\tan \beta d}{{Z_O} + j{Z_L}\tan \beta d} = {Z_{\rm{L}}}$

半波长线不改变或不变换负载阻抗，无论该传输线的特征阻抗是多少。

当d=λ/4+λ/2*n，其中n=1，2，3，....时，由于 ${Z_{\rm{in}}} = {Z_O}\frac{{Z_L} + j{Z_O}\tan \beta d}{{Z_O} + j{Z_L}\tan \beta d} = \frac{Z_0^2}{Z_{\rm{L}}}$