二叉树：已知前序序列与后序序列建树

二叉树：已知前序与后序建树

已知前序与中序、后序与中序建树是常遇到的算法问题。若已知前序序列与后序序列，要求输出满足条件的树的个数或者输出所有可能的树的中序序列，该怎么解决？下面我们一步步讨论这个问题。

首先，已知一个树的结点数n，共有多少种树形？（或者，已知一颗树的先序/中序/后序序列，共有多少种树形？）
答案是$C_m^n/(n+1)$种。点这里了解一下卡特兰数
那么，这里就有一种暴力解法，就是建立所有可能的树形，将先序序列填入某一树形，比较此树的后序序列是否与给定后序序列相同，若相同则找到一个解，若不相同，则填入下一个树形，直到填完所有可能树形。当树的结点为10时，那么总共有16796种树形，因此这种暴力解法时间复杂度相当高。
那么我们换一种思考方式，我们先来看看先序与后序序列的排布规律。以下面这棵树来举例：

其先序序列为： 1 2 3 4 6 7 5
后序序列为：2 6 7 4 5 3 1

首先我们要知道：

先序序列遍历顺序是：根结点-左子树-右子树

后序序列遍历顺序是：左子树-右子树-根结点

很明显，我们可以看出结点在先、后序列中的排布有以下这些特征：
【1】、在先序序列中，根结点在子树中的结点前面，在后序序列中，根结点在子树中的结点后面。
【2】、以任一节点为根结点时，其子树在后序序列中排布都是先左子树后右子树，而根结点排在最后。
那么，反过来思考，已知这个先序与后序序列所确定的树是唯一的吗？进一步推广：怎么通过先序与后序序列判断是否存在唯一的树呢？

现在，我们来一步步分析已知先序与后序的建树过程：

①、根据特征【1】可知：根结点为先序序列第一个节点以及后序序列最后一个结点，因此根结点为1。

②、先序序列中第二个结点为2，其在后序序列中的位置是第一个，那么根据特征【2】我们可以知道结点2是没有子树的，而且结点2要么在根结点的左子树，要么在右子树。假设结点2在右子树，那么由特征【2】可知根结点1没有左子树，而且先序序列中结点2后面的结点全部为结点2的子树上的结点。再看后序序列，由特征【2】可知，结点2后面的结点不可能是其子树上的结点。因此，假设显然与已知矛盾。这样，我们又知道结点2是结点1的左孩子，且结点2没有子结点。

③、先序序列第三个位置上的结点为3，该结点在后序序列中排倒数第二个。由②可知，结点3必然是根结点1的右孩子。

④、先序序列第四个位置上的结点为4，该结点在后序序列中排第四个。因为结点4在先序序列中排在结点3后面，又因为结点3是根结点1的右孩子，所以结点4只可能在结点3的子树上。结点3的子树可能出现的情况是：只有左子树，只有右子树，左右子树都有。因为在后序序列中，结点4左边是结点6、7，右边是结点5。所以结点5并不在结点4的子树上，所以结点3既存在左子树又存在右子树。这样的话，出现在结点3后面的第