最短路径之Dijkstra算法

1.解决问题

有向加权图的最短路径问题。

2.算法条件

该图所有边的权值非负，即对于每条边(u,v) ∈ E , w(u,v) ≥ 0。

3.模拟算法运行过程

Dijkstra算法中，主要采用了dis[N]数组，记录点到源点的最短距离，以及visit[N]数组，主要用来记录该点是否在集合中(代码中是根据visit[i] == true 或者 visit[i] == false来判断的)。
我多用了一个path[N]数组来记录最短路的路径，初始化为自己的下标。
从1号节点开始，将其相邻的边的权值记录到dis数组中，并且将1号节点的visit状态置为true：

1号节点到2号节点以及4号节点的权值记录在dis数组中，并且对path路径进行刷新path[2]=1,path[4]=1
挑选dis数组里面visit值为false且值最小的点，在上面的状态便是挑选2号节点，因为v1–>v2一定是（v1,v2）的最短路，不可能经过第三个点进行转折，这是因为1号节点到其他点的距离均大于v1–>v2的距离。我们把v2的visit状态置为true：

下面，从2号节点开始，将其相邻的边的权值之和与原值进行对比，取小的，记录到dis数组中，同时更新path数组，并且再次选择dis数组里面visit状态为false且值最小的点。因为(v1–>v2–>v4) =18 > (v1 -->v4) = 10，所以不更新dis[4]和path[4]的值。此次选择的是5号节点，将五号节点的visit值置为true:

下面，从五号节点开始，将其相邻的边的权值之和与原值进行对比，取小的，记录到dis数组中，同时更新path数组，并且再次选择dis数组里面visit状态为false且值最小的点。因为(v1–>v5–>v3) =19 > (v1 -->v2 -->v3) = 17，所以不更新dis[3]和path[3]的值。此次我们选择4号节点，将4号节点visit值置为true:

最后dis数组里面visit值为false且值最小的点就是3号节点，所以在选择3号节点，并将其visit状态置为true:

算法执行结束。

4.算法核心代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1000;
const int INT_MAX = 0x3f3f3f3f;
int e[N][N];//存边，e[i][j] == -1 表示(i,j)之间不存在边 
int dis[N];//求最短路的状态数组
bool vis[N];//将已经求得最短路的点状态置为true
int path[N];//用来记录最短路的路径
int n , m; //n --> 点的个数 ， m --> 边的个数

//dijkstra算法:start-->最短路起点

void dijkstra(int start){
    dis[start] = 0;
    int cnt = 0;
    path[1] = 0;
    while(cnt < n){
        int temp = INT_MAX;
        int tempIndex;
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            if(!vis[i] && temp > dis[i]){
                temp = dis[i];
                tempIndex = i;
            }
        }
        vis[tempIndex] = true;
        cnt++;
        //更新tempIndex到其他未访问的点的最短路径
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            if(!vis[i] && e[tempIndex][i] != -1 && dis[i] > dis[tempIndex] + e[tempIndex][i]){   
                dis[i] = dis[tempIndex] + e[tempIndex][i];
                path[i] = tempIndex;      
            }
        }
    }
}

int main(){
    memset(e , -1 , sizeof(e));
    memset(dis , 0x3f , sizeof(dis));
    memset(vis , false , sizeof(vis));
    int from , to , cost;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0;i < m;i++){
        cin >> from >> to >> cost;
        e[from][to] = cost;
    }
    dijkstra(1);
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        cout << dis[i] << " " ;
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

5.最短路径例题

见博客：CodeVS 1021 玛丽卡——最短路问题