02笔记 数字逻辑基础——卡诺图——基于《数字逻辑基础》陈光梦（第三版）

卡诺图

图形化简
标准表达方式与化简方式

逻辑函数标准表达式

$$Y=\overline{A}BC+A\overline{B}C+AB\overline{C}+ABC=\sum m(3,5,6,7)$$
最小项
n个逻辑变量中，m为包含n个因子的逻辑与项，其中每个逻辑变量以原变量或反变量形式出现一次且仅出现一次，称m是n个变量的最小项
（实际上只有一种情况下该最小项是1（真）于是我们把这个情况二进制作为他的下标

最大项
n个逻辑变量的逻辑函数中，M为包含n个因子的逻辑或项，每个逻辑变量以原变量或者反变量出现一次、且仅出现一次
$$f(abc)=(a+\overline{b}+c)(\overline{a}+b+\overline{c})(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c})=\prod M(2,5,7)$$

不难发现
$$Y=\sum m(3,5,6,7)=\prod M(0,1,2,4)$$

性质
有且仅有一个最小项逻辑值为1
有且仅有一个最大项逻辑值为0

任意两个不同最小项积为0，任意两个不同最大值和为1
$$\sum _{i=1}^{2^n-1}{m}_i=1\prod _{i=0}^{2^n-1}{M}_i=0$$
$$\overline{m_i}=M_i$$

逻辑函数两种标准表达形式
$$f(x_1\dots \dots x_n)=\prod _{i=0}^{2^n-1}{\alpha }_i{m}_i=0({\alpha }_i=0or1)$$
$$f(x_1\dots \dots x_n)=\sum _{i=0}^{2^n-1}{\alpha }_i{M}_i=0({\alpha }_i=0or1)$$

不难发现
$$\overline{\sum m_i}=\prod M_i$$
$$\sum m_i=\prod M_j(i\ne j)$$

卡诺图

卡诺图用方格阵列的形式列出所有的变量组合和每个组合值所对应的输出。卡诺图的格数与输入变量可能的组合数相等，也就是最小项总数2^n(n为变量数)，每一个方格表示一个最小项。

变量取值不按二进制数的顺序排列，而是按循环码排列，使相邻两个方格只有一个变量不同(一个变量变化)，而其余变量是相同的。

卡诺图的特点：在几何位置上相邻的最小项小方格在逻辑上也必定是相邻的，即相邻两项中有一个变量是互补的

画2^n大小的方格，可以有效化简逻辑函数的表达形式

术语
①蕴含：逻辑函数中“与或”（卡诺圈+所有最小项）
②质蕴含：不能和其他蕴含合并的蕴含（包含2^n，n尽可能大）
③必要质蕴含：包含至少一个不被其他质蕴涵包含的最小项质蕴涵（必须出现，别的圈没包含）
④覆盖：包含逻辑函数所有最小项的蕴含之“或”
⑤非冗余覆盖：其中每一个蕴含都是不可少的覆盖
⑥最小覆盖：包含蕴含个数最少的非冗余覆盖

异或性质

$$$$

卡诺图