01笔记数字逻辑基础——逻辑代数基础——基于《数字逻辑基础》陈光梦（第三版）

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#数字逻辑

于 2021-09-09 10:49:20 首次发布

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本文介绍了数字集成电路的基本类型和分类，包括模拟集成电路和数字集成电路，重点讲述了数字集成电路中的逻辑门电路、存储器及其集成度级别。同时，深入探讨了逻辑代数的基本原理，如逻辑运算、逻辑函数表示、逻辑恒等式和化简方法。内容涵盖了摩尔定律、组合逻辑电路、时序逻辑电路以及可编程逻辑器件FPGA和硬件描述语言Verilog HDL的基础知识。

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一些概念

集成电路分类
①模拟集成电路，处理连续信号
②数字集成电路，处理离散信号

数字集成电路分类
逻辑集成电路储存器 ASIC（Application Specific IC)

特点
信号表示形式统一、便于计算机处理
可靠性高
工艺成熟、可大规模集成

集成度
SSI 1-10门，逻辑门电路
MSI 10-100门，计数器、移位寄存器
LSI 1000-1000门小型储存器，八位算术逻辑单元
VLSI 1000-1w门大型储存器、微处理器
ULSI 超过100w门编程逻辑器件、多功能集成电路

摩尔定律
集成度18月翻一番

后续相关课程
计算机组成和实践嵌入式系统 DSP

CPU内部结构
ALU
寄存器（通用寄存、地址寄存，状态寄存
译码器（指令
计数器（程序
时序发生器
内存

课程内容

数字逻辑基本理论：逻辑代数
无记忆逻辑电路：组合逻辑电路
有记忆逻辑电器：触发器、时序逻辑电路（同步、异步
可编程逻辑器FPGA和硬件描述语言verilog HDL

1.1 逻辑代数概述

二值逻辑：条件、结论只取对立两值，是非、对错、真假
逻辑代数中，1代表真，0代表假
1与0是逻辑概念，只代表真假、无大小
数字逻辑中1和0表示二进制数，仅为一种代码，实际运算还是靠逻辑运行

逻辑函数
用一个数学表达式描述逻辑关系问题
$Y = f (A, B)$
表示方法
真值表
逻辑函数
逻辑图
卡诺图
硬件描述语言（HDL

逻辑运算

与
$A\cdot B$
在这里插入图片描述
或
$Y = A + B$

非
$\overline{A}$
在这里插入图片描述

反函数
逻辑函数互为反函数，对输入变量任意取值，输出逻辑值相反
在这里插入图片描述
F和G互为反函数

复合逻辑运算
与非
先对AB进行与运算再进行非运算
$\overline{A\cdot B}$
在这里插入图片描述

或非
先对AB进行或运算再进行非运算
$\overline{A+ B}$
在这里插入图片描述

异或
$Y=A⊕BY=AxorBY=A\oplus B\quad Y = A xor B$
在这里插入图片描述

同或 $\odot B$
在这里插入图片描述

逻辑图：基本逻辑单元

逻辑图符号标准规定
所有逻辑符号由方框、标注在方框内总限定符号组成
在这里插入图片描述

组合形式逻辑图
利用国标图形可以讲线路省去，直接拼凑

1.2逻辑代数基本定理

一、零一律
$A⋅1=AA+0=AA⋅0=0A+1=1A\cdot1=A\qquad A+0=A\\ A\cdot0=0\qquad A+1=1$
二、等幂律
$A⋅A=AA+A=AA\cdot A = A\qquad A+A = A$
三、互补律
$A⋅A‾=0A+A‾=1A\cdot \overline{A }= 0\qquad A+\overline{A } =1$
四、自反律
$A‾‾=A\overline{\overline{A}} =A$
五、交换律
$\qquad A+B = B + A$
六、结合律
$A(BC)=(AB)CA+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB)C\\ A+(B+C)=(A+B)+C$
七、分配律
$\\A+BC = (A+B)(A+C)$
八、反演律
$AB‾=A‾+B‾A+B‾=A‾⋅B‾\overline{AB} = \overline{A}+\overline{B} \qquad \overline{A+B} = \overline{A}\cdot\overline{B}$

九、代入定理
任何逻辑等式中，其中一个逻辑变量全部用另一个逻辑函数代替

十、反演定律
对一个逻辑函数式子：
①所有逻辑符号·和+交换
②所有逻辑常量 1 0 互换
③所有逻辑变量取反
④不改变运算顺序
得到逻辑函数是原来的反函数（例子：德摩根定理
$A(\overline{B}+C)+CD\\ \overline{Y}=(\overline{A}+B\overline{C})(\overline{C}+\overline{D})$

十一、对偶关系
逻辑符号+和·
逻辑常量1和0
①所有逻辑符号+和·互换
②逻辑常量1和0互换

若两个函数相等，他们的对偶式形成的两个函数也相等
$若(A+D)C‾=AC‾+C‾D+0则AD+C‾=(A+C‾)(C‾+D)⋅1若\qquad(A+D)\overline{C}=A\overline{C}+\overline{C}D+0\\ 则\qquad AD+\overline{C}=(A+\overline{C})(\overline{C}+D)\cdot1$

常用逻辑恒等式

一、吸收率
$①A+AB=A②A(A+B)=A③A+A‾B=A+B④A(A‾+B)=AB⑤A⋅AB‾=AB‾⑥A+A+B‾=A+B‾⑦AB+A‾B=B⑧(A+B)(A‾+B)=B①\quad A+AB = A\\②\quad A(A+B)=A\\ ③\quad A+\overline{A}B = A+B\\④\quad A(\overline{A}+B)=AB\\⑤\quad A\cdot \overline{AB} = A\overline{B}\\ ⑥ \quad A+\overline{A+B} = A+\overline{B}\\⑦\quad AB+\overline{A}B = B\\⑧\quad (A+B)(\overline{A}+B)=B$

二、冗余律
$①AB+A‾C+BC=AB+A‾C②(A+B)(A‾+C)(B+C)=(A+B)(A‾+C)③AB+A‾C+BCD=AB+A‾C④(A+B)(A‾+C)(B+C+D)=(A+B)(A‾+C)①\quad AB+\overline{A}C +BC = AB+\overline{A}C \\②\quad (A+B)(\overline{A}+C)(B+C)=(A+B)(\overline{A} + C)\\ ③\quad AB+\overline{A}C+ BCD = AB+\overline{A}C\\④\quad (A+B)(\overline{A}+C)(B+C+D)=(A+B)(\overline{A}+C)$

1.3逻辑函数的化简和形式转换

异或的不同表达形式：

与或形识
$A‾B+AB‾\overline{A}B+A\overline{B}$
与非—与非形式
$A‾B‾⋅AB‾‾‾\overline {\overline{\overline{A}B} \cdot \overline{A\overline{B}}}$
与或和与非—与非形式可以相互转换

或与形式
$(A‾+B‾)(A+B)(\overline{A}+\overline{B})(A+B)$
或非—或非形式
$A‾+B‾‾+A+B‾‾\overline{ \overline{\overline{A}+\overline{B}} +\overline{A+B} }$
与或非形式
$AB+A‾⋅B‾‾\overline{AB+\overline{A}\cdot\overline{B}}$
混合形式
$AB‾(A+B)\overline{AB}(A+B)$
后四种情况相互转换