bzoj 3505: [Cqoi2014]数三角形

最新推荐文章于 2019-09-05 11:28:00 发布

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本文介绍了一道Cqoi2014竞赛题目“数三角形”的解决方法，通过组合数学原理计算在给定网格上不共线的三角形总数，避免计数中出现的共线情况。

3505: [Cqoi2014]数三角形

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Description

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。

注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数，为所求三角形数量。

Sample Input

2 2

Sample Output

所有格点中任取三个点，情况数为C(n*m, 3)，

但这三个点不能在同一条直线上，所以要减去三点共线的情况

暴力枚举其中两个点的横纵坐标之差dx和dy，那么这两个点连线上的整点个数就为Gcd(dx, dy)-1

除此之外，这两个点还可以向下移动(n-dx)个单位，也可以向右移动(m-dy)个单位，还可以翻转

例如(1, 1)，(3, 4)翻转为(1, 4)，(3, 1)，所以对于当前的dx和dy

如果这两点在不平行于x轴或y轴，即其中一个不为0，那么情况数就为2*(Gcd(dx, dy)-1)*(n-dx)*(m-dy)

如果平行，那么情况数就为(Gcd(dx, dy)-1)*(n-dx)*(m-dy)（不能翻转了，翻转还是一样的）

最后暴力枚举dx(1~n-1)，dy(1~m-1)，全部减掉就是答案了

#include<stdio.h>
#define LL long long
int Gcd(int a, int b)
{
	if(a==0)
		return b;
	if(b==0)
		return a;
	return Gcd(b, a%b);
}
int main(void)
{
	LL ans, sum;
	int n, m, i, j;
	while(scanf("%d%d", &n, &m)!=EOF)
	{
		n++, m++;
		ans = (LL)(m*n)*(m*n-1)*(m*n-2)/6;
		for(i=0;i<=n-1;i++)
		{
			for(j=0;j<=m-1;j++)
			{
				if(i==0 && j==0)
					continue;
				sum = (LL)(Gcd(i, j)-1)*(n-i)*(m-j);
				if(i==0 || j==0)
					ans -= sum;
				else
					ans -= sum*2;
			}
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}