思维题 笔记

思维题

洛谷 T200118 童年

考虑进入一颗子树 $u$，使得该操作不会亏损苹果，至少需要的苹果数为 $f_u$。

dfs 遍历每个 $u$，考虑如何求出 $f_u$ ，维护一个优先队列 $q$ 和当前苹果数 $cur$，初始 $f_u=-a_i$，按 $f_v$ 的大小依次 bfs 遍历 $u$ 子树的每个 $v$，如果 $cur<f_v$ ，即需要更多的苹果才可能赚到， $f_u\leftarrow f_u+f_v-cur$，否则 $cur\leftarrow cur-f_v$，任意时刻如果 $cur\le f_u$ 退出循环，如果 $cur$ 始终小于 $f_u$，即赚不到苹果，$f_u=inf$。

求出答案用类似的思路即可。

贪心 $+$ DP ，将大问题化为子问题，熟练使用子状态。

CF1528B Kavi on Pairing Duty

任何不等大的匹配必为包含关系，即大的匹配包含小的匹配，设 $f_i$ 为长为 $2i$ 的匹配集的方案数。

一种情况，将 $k$ 个等大的匹配，放在外面，总方案数为 ${\sum }_{j=1}^{i-1}{f}_i$。
另一种情况，将 $i$ 个匹配分组，每组均为若干个等大的匹配，总方案数为 ${\sigma }_0(i)$。

CF1553D Backspace

考虑影响，首位 Backspace 相当于删除一个字符，其他 Backspace 相当于删除两个字符。

观察 $T$ 与 $S$ 的奇偶性，若不同必须 Backspace 第一个。

其他按位贪心匹配，无法匹配就只能 Backspace。

考虑奇偶性，贪心匹配。

洛谷 P7853 「EZEC-9」进位

第一问：观察到无论以怎样的数据，答案均不会改变。

证明：按位考虑，每一位被贡献的次数是不变的。

第二问：化为求最长连续进位段的长度，即最长可以进位的段的长度。

模拟 $f_i=\lfloor \frac{f_{i-1}}{2}\rfloor +b_i$，注意最高位最多进位 $20$ 次，注意数组空间大小即可。

洛谷 P7893 『JROI-3』黑白棋

$$ans=\sum _{i=0}^{\infty }(-1{)}^i\times \lfloor \frac{n}{p^i}\rfloor$$

用 unsigned long long 会炸，用 __int128 会 TLE，考虑用除法代替乘法来判断上界。

CF1209D Cow and Snacks

将每个人喜欢的两个点心用并查集合并，一个大小为 $c$ 的连通块能满足 $c-1$ 个人，记连通块数量为 $C$，因为 $n=\sum c_i$，故 $ans=k-(n-C)$。

P7887 「MCOI-06」Existence of Truth

记 $s_i={\sum }_{j=1}^i{a}_j$，以下运算均在 $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10^9+7$ 的意义下进行。

方程通项可表示为 $$x_i{s}_i-y_i{s}_{i-1}+y_i{s}_n=z_i$$

将 $x_i,y_i,z_i$ 作为参数，观察系数矩阵，发现可用第一行的第一项消去第二行的第二项，用第二行的第一项消去第三行的第二项，最后 $i=n$ 的方程只剩下一个未知数，求出回代即可。

P1975 [国家集训队]排队

考虑交换的影响。

P1966 [NOIP2013 提高组] 火柴排队

考虑 $a_i$ 与 $b_i$ 都为本序列第 $i$ 小时是答案。

P3605 [USACO17JAN]Promotion Counting P

子树内比 $p_u$ 强的等于遍历完后比它强的 $-$ 遍历前比它强的，树状数组维护即可。

CF1213G Path Queries

离线询问，并查集统计连通块大小即可。

P2184 贪婪大陆

对每个线段开头结尾打上不同的 tag ，区间 $[l,r]$ 不同线段个数等于 $[1,r]$ 的开头 tag 数减 $[1,l-1]$ 的结尾 tag 数。

P2789 直线交点数

当直线不平行时才会产生交点，枚举每条线段的平行状态即可，具体的，每次枚举多少条线平行即可。

P3917 异或序列

按位考虑，考虑每个数每一位被包含的次数，维护 $f_{i,j}$ 第 $j$ 位，以第 $i$ 个数结尾的区间和为奇数的个数$$f_{i,j}\{\begin{array}{l}i-f_{i-1,j},a_i\mathrm{and}{2}_j\\ f_{i-1,j}\end{array}$$每个 KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: f_{i,j] 的贡献为 $2^j\times f_{i,j}$。

令一种做法参考 P5686 [CSP-S2019 江西] 和积和。

构造题

P7903 「DCOI」兜心の顶

以 $1$ 为根构造大小为 $5,3,1,1,1,\cdots$ 的子树即可，$n$ 小于 $9$ 无解。

构造菊花图。

P7902 「PMOI-0」儒略日

构造 $1,3,5,\cdots ,2,2,4,4,\cdots ,1,3,5,\cdots$ 的数列即可，当 $d>2\times \lfloor \frac{n}{2}\rfloor +\lfloor \frac{n+1}{2}\rfloor -1$ 无解。

P7886 「MCOI-06」Gerrymandering

两种构造方法，蛇形或分区块。
分块的证明 $k|nm\Rightarrow \exists ab=k,a|n,b|m$。

交互题

CF1534D Lost Tree

观察到为上取整 $\lceil \frac{n}{2}\rceil$。

取 $1$ 为根节点，深度为奇数的点集为 $S$，偶数为 $T$，遍历较小一方即可。

善用树的深度。

P7895 『JROI-3』删树

• 权值和等于叶子节点按 dfs 序排序后，两两相邻的距离和的二分之一。

• 记 $i$ 的深度为 $d_i$ ，权值和等于 ${\sum }_{i=2,d_i>2}^{n}dst(1,i)\ast d_i$

设当前叶子数为 $c$，若需要的交互次数大于剩余交互次数时执行 del 操作即可。