数据结构实战：并查集、二叉堆与平衡树-优快云博客

本文介绍了数据结构中的并查集、二叉堆及其应用，包括洛谷上的相关题目分析，如程序自动分析、小Z的神奇数列。此外，还探讨了平衡树在送花问题中的应用。最后提到了树链剖分和线段树等数据结构的实战技巧。

并查集

洛谷P1955 程序自动分析

相等具有传递性，考虑用并查集维护。

无法用并查集维护不等式，考虑离线，先处理相等的，再将不相等的作为判定即可。

数据范围很大，考虑离散化。

二叉堆

洛谷P2174 小Z的神奇数列

维护四个堆，分别记为 $q$ ， $d q$ （小根堆）， $p$ ， $d p$ （大根堆）。

对于最大小值的询问，询问堆顶即可。
对于最大值的最小值次幂询问，快速幂即可。
对于删除操作，把待删除的数加入 $d q$ 和 $d p$ ，当 $q$ 与 $d q$ 的堆顶相同时，pop 即可，询问操作前需保证 $q$ 与 $d q$ 的堆顶两两不相同， $q$ 与 $d q$ 同理。
对于所有数乘积的询问，维护所有数的乘积，在删除操作时乘上该数的逆元即可

类似做法：维护两个堆即可，对于删除操作，将待删除的数标记一下，当堆顶的数被标记时，pop 即可，但是似乎毒瘤出题人卡 map（数的范围 $1\sim1e8$ ）。
思路三：待填坑

注：模数不是质数（啊~这~），费马小定理用不上了，要用 $e x g c d$ 。

补：似乎拓展欧几里得理论上也是不行的，因为可能出现 $\gcd(x,p)\not=1$ ，即原数和模数不互质，然而数据可能是随机的，待更。

平衡树

洛谷 P2073 送花

弱化版平衡树模板题。

另类做法：建立价格到美丽值的映射，维护两个堆，堆存储价格，对于删除操作，将将待删除的数的价格标记标记一下，当堆顶的数被标记时，pop 即可。

然而可以用 STL 的 set 。

总结：对于在数据结构中储存数据，只储存下标或关键数据（比如说用来排序）即可，节省空间。

树链剖分

线段树 & 树状数组

P2572 [SCOI2010]序列操作

VOJ 1620 小白上树
 P4513 小白逛公园
 SP1043 GSS1 - Can you answer these queries I
SP1716 GSS3 - Can you answer these queries III

维护 $r e v, c h g$ 两个 tag 来进行修改操作，规定优先级 $c h g > r e v$ 。

区间反转 $\operatorname{xor} 1$ 。
区间修改为 $1$ ， $r e v = 0, c h g = 1$ 。
区间修改为 $0$ ， $r e v = 0, c h g = 0$ 。

标记下传优先更新 $c h g$ 再 $r e v$ 。

维护 $sum_1,sum_0,pre_1,pre_0,suf_1,suf_0,mix_1,mix_0$ 来支持查询,左右儿子为 $l c d, r c d$ ，区间长度为 $l e n$ 。

$sum_1=sum_{1,lcd}+sum_{1,rcd}$
$sum_0=sum_{0,lcd}+sum_{0,rcd}$
$pre_1=\max\{pre_{1,lcd},(sum_{1,lcd}+pre1_{rcd})[sum1_{lcd}=len_{lcd}]\}$
$pre_0=\max\{pre_{0,lcd},(sum_{0,lcd}+pre_{0,rcd})[sum_{0,lcd=}=len_{lcd}]\}$
$suf_1=\max\{suf_{1,rcd},(suf_{1,lcd}+sum_{1,rcd})[sum_{1,rcd}=len_{rcd}]\}$
$suf_0=\max\{suf_{0,rcd},(suf_{0,lcd}+sum_{0,rcd})[sum_{0,rcd}=len_{rcd}]\}$
$mix_1=\max\{mix_{1,lcd},mix_{1,rcd},suf_{1,lcd}+pre_{1,rcd}\}$
$mix_0=\max\{mix_{0,lcd},mix_{0,rcd},suf_{0,lcd}+pre_{0,rcd}\}$

P4145 上帝造题的七分钟 2 / 花神游历各国

SP2713 GSS4 - Can you answer these queries IV

$10^{18}$ 开方 $6$ 次向下取整即为 $1$ ，当区间和不为区间长度时暴力遍历开方即可。

维护区间最值 $m a x, m i n$ ，区间减标记 $s u b$ ，当 $\sqrt{max}\not=\sqrt{min}$ 时下传标记即可。

线段树合并 & Dsu On Tree

P4556 [Vani有约会]雨天的尾巴 /【模板】线段树合并

线段树合并，树上差分。

每个点维护一颗动态开点权值线段树，依次合并到父亲节点即可。

// 将 y 合并到 x 上
void merge(int &x,int &y,int xl,int xr){
		if(!x){x=y;return;}if(!y)return;
		if(xl==xr)cnt[x]+=cnt[y],val[x]=val[y];
		else merge(lcd[x],lcd[y],xl,xm),merge(rcd[x],rcd[y],xm+1,xr),update(x);
}
// 将 x 和 y 合并成 z
int merge(int x,int y,int xl,int xr){
	int z=++ndc;if(!x||!y){z=x+y;return z;}
	if(xl==xr)cnt[z]=cnt[x]+cnt[y],val[z]=val[x]+val[y];
	else lcd[z]=merge(lcd[x],lcd[y],xl,xm),rcd[z]=merge(rcd[x],rcd[y],xm+1,xr),update(z);
}