快速幂方法整理

本文深入讲解快速幂算法,介绍如何通过二进制拆分将时间复杂度从O(n)优化至O(logn),并提供具体实例及代码实现,帮助读者理解和掌握快速幂算法的核心思想。

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快速幂这个东西比较好理解,但实现起来到不老好办,记了几次老是忘,今天把它系统的总结一下防止忘记。

  首先,快速幂的目的就是做到快速求幂,假设我们要求a^b,按照朴素算法就是把a连乘b次,这样一来时间复杂度是O(b)也即是O(n)级别,快速幂能做到O(logn),快了好多好多。它的原理如下:

  假设我们要求a^b,那么其实b是可以拆成二进制的,该二进制数第i位的权为2^(i-1),例如当b==11时

                             a11=a(2^0+2^1+2^3)

  11的二进制是1011,11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1,因此,我们将a¹¹转化为算 a2^0*a2^1*a2^3,也就是a1*a2*a8 

,看出来快的多了吧原来算11次,现在算三次。                                                                                             

 

 

 

由于是二进制,很自然地想到用位运算这个强大的工具:&和>>    

 

     & 运算通常用于二进制取位操作,例如一个数 & 1 的结果就是取二进制的最末位。还可以判断奇偶x&1==0为偶,x&1==1为奇。

 

    >> 运算比较单纯,二进制去掉最后一位。

int poww(int a, int b) {
    int ans = 1, base = a;
    while (b != 0) {
        if (b & 1 != 0)
            ans *= base;
        base *= base;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

 

      代码很短,死记也可行,但最好还是理解一下吧,其实也很好理解,以b==11为例,b=>1011,二进制从右向左算,但乘出来的顺序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3),是从左向右的。我们不断的让base*=base目的即是累乘,以便随时对ans做出贡献。

  其中要理解base*=base这一步:因为 base*base==base2,下一步再乘,就是base2*base2==base4,然后同理  base4*base4=base8,由此可以做到base-->base2-->base4-->base8-->base16-->base32.......指数正是 2^i

再看上面的例子,a¹¹= a1*a2*a8,这三项就可以完美解决了,快速幂就是这样。

  

<think>好的,我现在要帮助用户理解快速幂算法的实现和原理。用户已经提供了两个引用内容,需要结合这些信息来组织回答。首先,我需要回忆快速幂的基本概念,然后整理它的原理,比如如何将指数分解为二进制形式来减少计算次数。接下来,要考虑如何用示例代码来展示递归和迭代的实现方式,可能还需要包括模运算的应用,因为引用里提到了密码学和RSA加密。 用户要求结构清晰,分步骤解释,所以需要将原理和实现分开说明。同时,要确保所有数学表达式用正确的LaTeX格式,比如$a^b$要写成$a^b$,独立公式用$$...$$。比如,分解指数n为二进制时的表达式可能需要单独成段。另外,生成相关问题时要围绕快速幂的应用、优化、复杂度等方面。 需要注意检查LaTeX语法是否正确,比如乘方符号、括号匹配等。示例代码部分要使用正确的Python语法,并且注释清晰。引用标记要自然地添加在相关段落末尾,如引用[^1]和[^2]。 可能还需要考虑用户的实际应用场景,比如提到快速幂在大数运算和加密中的重要性,这样回答会更全面。同时,要确保语言简洁,避免技术术语过多,但又要准确。最后,生成的问题需要与快速幂相关,帮助用户进一步学习,比如时间复杂度、迭代与递归的区别、模运算的作用等。 现在,开始组织内容,先讲原理,再展示代码,然后相关问题。确保每个部分都符合用户的要求,特别是格式和引用部分。</think>### 快速幂算法原理与实现 #### 一、算法原理 快速幂算法通过**二进制分解指数**将幂运算复杂度从$O(n)$优化到$O(\log n)$。核心思想是将$a^n$分解为多个子幂的乘积,例如: $$ a^{13} = a^{8} \cdot a^{4} \cdot a^{1} $$ 其中指数$13$的二进制表示为$1101$,对应权值$8,4,1$的位为1。 #### 二、实现方法 ##### 1. 递归实现 通过分治法将$a^n$拆分为$a^{n/2}$的平方: ```python def fast_pow(a, n): if n == 0: return 1 half = fast_pow(a, n // 2) return half * half * a if n % 2 else half * half ``` 时间复杂度:$O(\log n)$ ##### 2. 迭代实现(位运算) 利用二进制位遍历指数: ```python def fast_pow_iter(a, n): res = 1 while n > 0: if n % 2 == 1: # 当前二进制位为1 res *= a a *= a # 更新基数 n //= 2 return res ``` ##### 3. 模快速幂(密码学常用) 加入取模运算防止数值溢出: ```python def mod_pow(a, n, mod): res = 1 a %= mod # 确保基数小于模数 while n > 0: if n & 1: res = (res * a) % mod a = (a * a) % mod n >>= 1 return res ``` 此版本在RSA加密算法中广泛应用[^2]。 #### 三、关键特性 | 特性 | 说明 | |---------------|-------------------------------| | 时间复杂度 | $O(\log n)$,比朴素算法快10倍以上 | | 空间复杂度 | 递归版$O(\log n)$,迭代版$O(1)$ | | 核心操作 | 二进制分解、平方降次 | | 典型应用场景 | 密码学、大数运算、动态规划优化|
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