#10019. 「一本通 1.3 例 2」生日蛋糕-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/JSASL/article/details/109392121

该博客探讨了一种优化算法在解决特定数学问题上的应用，即如何设计一个由M层组成的生日蛋糕，使得其体积为Nπ且外表面面积最小。通过极限思想和递归搜索，博主提出了一种剪枝策略来减少计算量，并给出了详细的代码实现。文章深入浅出地阐述了算法的原理和实现细节，为读者展示了如何在实际问题中运用计算机科学的方法解决问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目描述】

Mr.W 要制作一个体积为 Nπ 的 M 层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。设从下往上数第 i 蛋糕是半径为 Ri，高度为 Hi 的圆柱。当 i<M时，要求 Ri>Ri+1且 Hi>Hi+1。由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积 Q最小。令 Q =Sπ ，请编程对给出的 N 和 M ，找出蛋糕的制作方案（适当的 Ri 和 Hi 的值），使 S 最小（除 Q 外，以上所有数据皆为正整数）

在这里插入图片描述

【输入格式】

第一行为 N ，表示待制作的蛋糕的体积为 Nπ；

第二行为 M ，表示蛋糕的层数为 M 。

【输出格式】

输出仅一行，一个整数 S（若无解则 S=0 ）。

【样例输入】

100
2

【样例输出】

【附：圆柱相关公式：】
在这里插入图片描述

【数据范围与提示】

对于全部数据，1≤N≤10^4,1≤M≤20。

解析：
由于蛋糕从第二层开始，底面半径和高度要大于上面的一层蛋糕，极限思想，假设蛋糕只有一层，则这层的底面半径maxr=sqrt(n) ，假设每层蛋糕的半径都为1，则蛋糕的高度maxh=n，之后对于每次搜索，进行三种剪枝
1 ：sumv+minv[depth-1]>n 当已用体积加上剩余层数的最小值大于总体积
2：sums+mins[depth-1]>best 已生成表面积加上剩余层数的表面积最小值大于以求得的最小表面积
3：2*(n-sumv)/r+sums>best 因为前depth层的体积为sumv,那么剩余的m-depth层的体积满足:n-sumv=(hk+……+hm)(k=level+1,……,m) 而剩余部分的表面积满足:lefts=2*(r[k]h[k]+……+r[m]h[m])>2(n-sumv)/r[level] (k=level+1,……,m) 显然有上述不等式lefts=best-sums>2(n-sumv)/r[level]。所以剪枝条件为:(2*(n-sumv)/r+sums>best)

代码：

#include"stdio.h"
#include"math.h"
#include"string.h"
#include"algorithm"
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
int best=INF;
int m,n,minv[25],mins[25];
void dfs(int depth,int sumv,int sums,int r,int h)//剩余层数，已用体积，已生成面积，当前层的半径，高度 
{
	int i,j;
	if(depth==0)
	{
		if(sumv==n&&sums<best)
		best=sums;
		return;
	}
	if(sumv+minv[depth-1]>n||sums+mins[depth-1]>best||(2*(n-sumv)/r+sums>=best))
	//当已用体积加上剩余层数的最小值大于总体积或已生成表面积加上剩余层数的表面积最小值大于以求得的最小表面积时，返回； 
	return;
	for(i=r-1;i>=depth;i--)
	{
		if(depth==m)//底层，计算底面积 
		sums=i*i;
		int maxh=min((n-sumv-minv[depth-1])/(i*i),h-1);//计算depth层蛋糕的高度上限，n-sumv-minv[depth-1]为depth层的最大体积 
		for(j=maxh;j>=depth;j--)//依次搜索子状态 
		dfs(depth-1,sumv+i*i*j,sums+2*i*j,i,j);
	}
}
int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	int maxr=sqrt(n);//假设蛋糕只有一层，则这层的底面半径为sqrt(n) 
	int maxh=n;//假设每层蛋糕的半径都为1，则蛋糕的高度为n 
	minv[0]=mins[0]=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)//计算第1~i层的最小体积和表面积 
	{
		minv[i]=minv[i-1]+i*i*i;//当第i层的底面半径和高都为i时，minv[i]最小 
		mins[i]=mins[i-1]+2*i*i;//同理 
	}
	dfs(m,0,0,maxr,maxh);
	if(best==INF)
	best=0;
	printf("%d\n",best);
	return 0;
}