快速傅立叶变换：FFT算法原理及C++实现

快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的算法，用于将一个离散信号转换为其在频域上的表示。在计算机视觉和图像处理领域，FFT被广泛应用于图像滤波、特征提取、频域分析等任务。本文将介绍FFT算法的原理，并提供C++实现的源代码。

傅立叶变换的原理

傅立叶变换是一种将一个信号从时域转换到频域的数学变换方法。它将信号表示为一系列正弦和余弦函数的叠加，通过计算信号在不同频率上的幅度和相位信息，从而提取出信号的频谱特征。

对于一个离散的信号序列，傅立叶变换可以通过离散傅立叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）来计算。然而，传统的DFT算法的时间复杂度为O(n^2)，当信号长度较大时，计算开销会很高。而FFT算法通过利用信号的对称性和周期性，将DFT的计算复杂度降低到O(nlogn)，从而实现了高效的频域分析。

FFT算法的原理

FFT算法的核心思想是分治法（Divide and Conquer），将DFT的计算分解为多个较小规模的DFT计算。具体来说，FFT算法将一个长度为n的信号序列分解为两个长度为n/2的信号序列，并递归地进行FFT计算，最后将结果合并得到最终的频谱表示。

以下是FFT算法的主要步骤：

1. 如果输入信号长度为1，则直接返回该信号。

2. 将输入信号分为偶数索引和奇数索引两部分，分别进行FFT计算。

3. 通过旋转因子将奇数索引部分的频谱值合并到偶数索引部分的频谱值。

4. 重复步骤2和3，直到