傅里叶变换

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傅里叶级数（FS）

连续时间傅里叶级数

用成谐波关系的复指数信号表示周期信号的方法。（需要满足收敛条件）

$$x(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{a_k}{e^{jk{\omega _0}t}},} \quad {\omega _0} = \frac{{2\pi }}{{{T_0}}}\\ a_k =\frac{1}{{{T_0}}}\int_{{T_0}} {x(t){e^{ - jk{\omega _0}t}}dt}$$
$\{a_k\}$称为 $x(t)$的频谱系数。
所谓频域图实际上说明信号中是哪些频率的信号的叠加。(图片摘自 如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧)

离散时间傅里叶级数（DFS）

离散时间傅里叶级数是有限项的线性组合，不存在收敛性问题，也不存在吉布斯现象，是离散傅里叶级数与连续傅里叶级数的一个重要区别。

$$x[n]=\sum\limits_{k = < N > } {{a_k}{e^{jk(\frac{{2\pi }}{N})n}}} \\ a_k = \frac{1}{N}\sum\limits_{k = < N > }x[n]{e^{-jk(\frac{{2\pi }}{N})n}}$$
离散傅里叶系数 $a_k$是以 $N$为周期的。

傅里叶变换（FT）

连续时间傅里叶变换

傅里叶变换针对的是非周期信号。非周期信号可看做周期无穷大的周期信号，因此频谱系数将变为连续的。若令$a_k=\frac{1}{T_0}X(jk\omega_0)$，则有

$$X(j\omega ) = \int_{ - \infty }^\infty {x(t){e^{ - j\omega t}}dt} \\ x(t) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty {X(j\omega ){e^{j\omega t}}dt}$$

离散时间傅里叶变换（DTFT）

$$X({e^{j\omega }}) = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {x[n]{e^{ - j\omega n}}} \\ x[n] = \frac{1}{{2\pi }}\int_{2\pi } {X({e^{j\omega }}){e^{j\omega n}}d\omega }$$
离散时间信号的频谱 $X(e^{j\omega})$是周期为 $2\pi$的周期函数。

离散傅里叶变换（DFT）

由于$X(e^{j\omega})$是连续函数，难以直接应用于数字系统，为了便于表示和处理$x(n)$的频域特征，由$X(e^{j\omega})$定义有限长序列$X(k)$（令$\widetilde X(k) = X({e^{j\omega }}){|_{\omega = \frac{{2\pi }}{N}k}}$，序列$X(k)$是$\widetilde X(k)$的一个周期，称之为$\widetilde X(k)$的主值序列）。在频域上对$X(e^{j\omega})$进行采样会导致序列$x(n)$在时域上周期延拓得到$\widetilde x(n)$，令$\ x(n)$是$\widetilde x(n)$的主值序列。对于时域与频域的两组主值序列，有

$$x(n) = \frac{1}{N}\sum\limits_{k = 0 }^{N-1} {X(k)e^{ j\frac{2\pi}{N}nk}} \\ X(k)= \sum\limits_{k = 0 }^{N-1} x(n){e^{ -j\frac{2\pi}{N}nk}}$$
其中 $n,k \in \{0,1,\ldots,N-1\}$。 DFT只适用于有限长序列。

可以这样理解，对于一个有限长信号，抽样得到离散信号$x(n)$，再进行周期延拓，得到$\widetilde x(n)$，然后对其做DFS，得到离散周期序列$\widetilde X(k)$，取一个周期得到$X(k)$。

虽然DFT跟DFS运算结构相同，但是物理含义不同。可参考一幅图弄清DFT与DTFT,DFS的关系。（注：离散时间周期脉冲串的频谱为频域上的周期脉冲串，在时域上周期$N$越大，在频域上，各次谐波频率间隔$\omega_0=\frac{2\pi}{N}$越小）

（个人理解DFT是对频域进行采样。）对序列$x(n)$做DFT变换时，要求DFT的点数不应低于$x(n)$的长度。（对频域采样相当于对时域延拓，而要保证延拓过程不会出现混叠）

快速傅里叶变换（FFT）

FFT是DFT的快速计算方法。虽然存在不同的FFT方法，但核心思想大致相同，即通过迭代，反复利用低复杂度的DFT完成高点数的DFT计算，以此达到降低运算量的目的。通常采用$2^N$个点的FFT。