UVa 108 Maximum Sum (经典问题转化)

题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-108

题目大意：求矩阵的最大子矩阵和

思路：本体可以由一个经典问题“求一个序列的最大连续子序列”，该一维问题可以由一个简单dp来实现，令dp[i]表示以i结尾的最大连续子序列，则dp[i] = max( dp[i-1]+a[i], a[i] ），可以在O(n)的复杂度内解决。对于二维的情况，我们需要做一个转化，首先一个二重循环i，j枚举子矩阵的行的最高位置和最低位置，这样矩阵的高度以及最顶行和最底行就确定了，在此前提下，我们把每一列看成一个数字（即该列的和），然后套用一维问题的模板来一个O(n)的循环就求出了以i，j两行作为最顶行和最底行的子矩阵的最大值。

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using namespace std;
typedef long long LL;
const int dr[] = {0,0,-1,1};
const int dc[] = {-1,1,0,0};
const int maxn = 150 + 10;
int a[maxn][maxn];
int sum[maxn][maxn];

int Sum(int x1, int y1, int x2, int y2)
{
	return sum[x2][y2] - sum[x2][y1-1] - sum[x1-1][y2] + sum[x1-1][y1-1];
}

int dp[maxn];

int main()
{
	int n;
	while(cin >> n)
	{
		memset(sum, 0, sizeof sum);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
           for(int j = 1; j <= n; j++)
           {
           	   scanf("%d", &a[i][j]);
           	   //sum[i][j] : 以(1, 1)为左上角，(i, j)为右下角的矩阵的和
           	   sum[i][j] = sum[i-1][j] + sum[i][j-1] - sum[i-1][j-1] + a[i][j];
           }
        int ans = -1e9 - 10;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
           for(int j = 1; j <= i; j++)
           {
           		dp[0] = -1e9-10;
           		for(int k = 1; k <= n; k++)
           		   dp[k] = max(dp[k-1] + Sum(j, k, i, k), Sum(j, k, i, k));
           		for(int k = 1; k <= n; k++)
           		   if(ans < dp[k]) ans = dp[k];
           }
        printf("%d\n", ans);
	}
}