偏微分方程数值解联系 - 向前差分法 - 一维热传导

最新推荐文章于 2022-04-14 21:52:12 发布

陌雨’

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分类专栏：数值分析文章标签：数值分析偏微分方程

抓住一只白嫖怪(｀・ω・´)

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本文通过数值方法解决了一维热传导方程的边界值问题。初始条件为f(x)=sin²(2πx)，边界条件为两侧温度随时间恒为0。采用有限差分法进行离散化，并通过Matlab编程实现了解的计算与可视化。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：

${ut=Duxxa⩽x⩽b,t⩾0u(x,0)=f(x)a⩽x⩽bu(a,t)=l(t)t⩾0u(b,t)=r(t)t⩾0\left\{ \begin{aligned} &u_t=Du_{xx}\quad &a\leqslant x\leqslant b,t\geqslant 0\\ &u(x,0)=f(x)\quad & a\leqslant x\leqslant b\\ &u(a,t)=l(t)\quad & t\geqslant0\\ &u(b,t)=r(t) \quad & t\geqslant 0\\ \end{aligned} \right.$

代码：

注：这里取 $a=0,b=1,D=1,t∈(0,1),f(x)=sin⁡2(2πx),l(t)=0,r(t)=0a=0,b=1,D=1,t\in (0,1),f(x)=\sin^2(2\pi x),l(t)=0,r(t)=0$

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%% 初值设置
xl = 0;
xr = 1;
yb = 0;
yt = 1;
M = 10;
N = 250;
f = @(x) sin(2*pi*x).^2;
l = @(t) 0*t;
r = @(t) 0*t;
D = 1;

%% 方程求解
h = (xr-xl)/M;	% h 为距离间隔
k = (yt-yb)/N;	% k 为时间间隔
m = M-1;
n = N;
sigma =  D*k/h^2;
a1 = diag(1-2*sigma*ones(m,1));
a2 = diag(sigma*ones(m-1,1),1);
a3 = diag(sigma*ones(m-1,1),-1);
a = a1+a2+a3;
lside = l(yb+(0:n)*k);
rside = r(yb+(0:n)*k);
w(:,1) = f(xl+(1:m)*h)';
for j = 1:n
    w(:,j+1) = a*w(:,j) + sigma*[lside(j);zeros(m-2,1);rside(j)];
end
w = [lside;w;rside];
x = (0:m+1)*h;
t = (0:n)*k;
mesh(x,t,w')