解析几何 | 吕子根 设三平行平面 $\pi_i:\ Ax+By+Cz+D_i=0\,(i=1,2,3),L,M,N$ 依次是平面 $\pi_1,\pi_2,\pi_3$ 上的任意点，求 $\tria

题目：

设三平行平面 ${\pi }_i:Ax+By+Cz+D_i=0(i=1,2,3),L,M,N$ 依次是平面 ${\pi }_1,{\pi }_2,{\pi }_3$ 上的任意点，求 $△LMN$ 的重心的轨迹。

参考答案：

设 $L(x_1,y_1,z_1),M(x_2,y_2,z_2),N(x_3,y_3,z_3)$，满足

$$A{x}_i+B{y}_i+C{z}_i+D_i=0i=1,2,3\text{\hspace{1em}(1)}$$

设 $△LMN$ 的重心的坐标为 KaTeX parse error: \tag works only in display equations，则

$$x=\frac{{\sum }_{i=1}^3{x}_i}{3},y=\frac{{\sum }_{i=1}^3{y}_i}{3},z=\frac{{\sum }_{i=1}^3{z}_i}{3}$$

将 $(1)$ 式求和，即可得到：

$$A\sum _{i=1}^3{x}_i+B\sum _{i=1}^3{y}_i+C\sum _{i=1}^3{z}_i+\sum _{i=1}^3{D}_i=0$$

结合 $(2)$ 式即可得到：

$$3Ax+3By+3Cz+\sum _{i=1}^n{D}_i=0$$

整理得到：

$$Ax+By+Cz+\frac{{\sum }_{i=1}^n{D}_i}{3}=0\text{\hspace{1em}(3)}$$

$(3)$ 式即为 $△LMN$ 的重心的轨迹满足的方程。

---

2021年11月11日23:34:22